Kvadratna jednačina

Kvadratna jednačina 17.11.2012. u 12:51 · pre 170 meseci #1

Pozdrav svima. Muči me jedan zadatak koji glasi:
Ako su a i b rešenja kvadratne jednačine $x^2-6x+1=0$ dokazati da je $a^n+b^n$ ceo broj koji nije deljiv brojem 5, za svako n iz N.

Ja sam uspela da proverim za n=1 i 2 preko Vietovih formula, ali kako dalje ?

Unapred hvala!

Re: Kvadratna jednačina 17.11.2012. u 13:51 · pre 170 meseci #2

Mozda da probas indukcijom... Recimo da se primeti da je $a^{n+1}+b^{n+1} = (a^n + b^n)(a+b) - ab^n - a^n b = (a^n + b^n)(a+b) - ab(a^{n-1} + b^{n-1})$ . Indukcija bi onda bila preko prethodna dva, sto nije problem, posto imas da vazi za n=1 i n=2. Samo treba obratiti paznju da iako po pretpostavci $a^n + b^n$ i $a^{n-1} + b^{n-1}$ ne bi bili deljivi sa 5, ne mora da znaci da njihova razlika nije deljiva sa 5, ali mislim da to moze da se raspetlja,

Re: Kvadratna jednačina 17.11.2012. u 13:56 · pre 170 meseci #3

Ja bih jednostavno rešio kvadratnu jednačinu $x_{1,2}=3\pm 2\sqrt 2$ , a onda bih napisao šta je tačno $a^n+b^n$ .

$a^n+b^n=(3+2\sqrt 2)^n+(3-2\sqrt 2)^n=2\sum_{k=0}^{[n/2]}{n\choose 2k}8^k3^{n-2k}$ ,

odakle sledi da jeste u pitanju ceo broj. Ovo je ništa drugo do ceo broj $u_n$ takav da za odgovarajući ceo broj $v_n$ važi $2(3+2\sqrt 2)^n=u_n+2\sqrt 2v_n$ .

Dakle, mi treba da dokažemo da $u_n$ nije deljivo sa 5. Iz

$u_{n+1}+2\sqrt 2v_{n+1}=2(3+2\sqrt 2)^{n+1}=2(3+2\sqrt 2)^n(3+2\sqrt 2)=(u_n+2\sqrt 2v_n)(3+2\sqrt 2)=(3u_n+8v_n)+2\sqrt 2(u_n+3v_n)$

zaključujemo da je

$u_{n+1}=3u_n+8v_n$ , $v_{n+1}=u_n+3v_n$ .

Pritom je $u_0=2$ i $v_0=0$ .

Odavde se lako indukcijom dokazuje da se ostaci pri delenju brojeva $u_n$ i $v_n$ sa 5 javljaju periodično sa periodom 6, oodakle nije teško zaključiti da $u_n$ nije deljivo sa 5 ni za jedno $n$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kvadratna jednačina 17.11.2012. u 14:11 · pre 170 meseci #4

Bravo, Darko. Obzirom da su $a+b$ i $ab$ poznati, to se svodi na

$(a+b)^n\equiv_5(a^{n-1}+b^{n-1})-(a^{n-2}+b^{n-2})$ .

Znači, ostaci su

2, 1, 4, 3, 4, 1,...

a onda se periodično ponavljaju.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kvadratna jednačina 17.11.2012. u 14:35 · pre 170 meseci #5

E vidis, moze i tako... Video sam tu jednakost po modulu 5, ali sam pomislio da i to moze da se ugura u indukciju, posto nikoja 2 uzastopna izraza ne mogu dati isti ostatak posle deljenja sa 5, pod pretpostavkom da nijedan nije deljiv sa 5.

Re: Kvadratna jednačina 17.11.2012. u 15:41 · pre 170 meseci #6

Hvala puno obojici na trudu i brzini.

Darkovo rešenje mi se malo više sviđa :)

Re: Kvadratna jednačina 17.11.2012. u 18:11 · pre 170 meseci #7

A kome se ne bi vise svidelo krace i elegantnije resenje?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme