[es] - Uslovni ekstremum

nightowl

Član broj: 303314
Poruke: 54
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2 Profil

Uslovni ekstremum

^{03.11.2012. u 19:48 - pre 139 meseci}

Imam odredjene poteskoce oko ovog zadatka pa ako moze mala pomoc...

Odrediti uslovni ekstremum funkcije

, a potom odrediti najmanju i najvecu vrednost na zatvorenoj oblasti

.

Formirao sam Lagranzovu funkciju i nasao

gde su za

stacionarne tacke

, a za

Posle nadjem totalni diferencijal drugog reda ali imam poteskoce da odredim znak, pokusao sam pre toga Silvesterovom teoremom naravno bez uspeha.

I jedno pitanje. Za drugi deo zadatka kada trazim najm. i najv. vred. na zatvorenoj oblasti, prilikom postupka kada prvo nadjem stacionarne tacke funkcije z(x,y) treba da proverim da li pripadaju toj oblasti?

EDIT:
Uspeo sam, trebalo je jos da nadjem diferencijal uslova, pa su

minimumi, a

maksimumi. Dalje za zatvorenu oblast dobijam i

, kojoj pripadaju i

. Sledi da je najmanja vrednost u M gde je z=0, a najveca u

gde je z=9.

Nadam se da ce jos neko da potvrdi moje resenje...

_{[Ovu poruku je menjao nightowl dana 04.11.2012. u 01:23 GMT+1]}

_{[Ovu poruku je menjao nightowl dana 04.11.2012. u 01:24 GMT+1]}

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2790 Profil

Re: Uslovni ekstremum

^{04.11.2012. u 14:42 - pre 139 meseci}

je Lagranževa funkcija upravo

. Kada je

, onda je

. Možemo li u okolini te tačke naći tačke u kojima je vrednost Lagranževe funkcije negativna? Očigledno ne. Možemo li u okolini te tačke naći i druge tačke u kojima je

? Pa, možemo,

blisko nuli (ne mora biti pozitivno) i nikakve druge. Da li neka od tih tačaka zadovoljava uslov? Da vidimo:

,

što ne može biti tačno za

dovoljno blisko nuli. Dakle, imamo lokalni minimum u toj tački. Slučaj tačke

je analogan. Postojanje lokalnog ekstremuma smo mogli utvrditi i tako što bismo rešili sistem diferencijala jednačine i uslova.

,

Delenjem obe jednačine sa

dobijamo sistem od dve diferencijalne jednačine

.

Tražimo im zajedničko rešenje, koje zadovoljava Košijev uslov vezan za tačku lokalnog ekstremuma

.

Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo

.

Ovo je linearna jednačina prvog reda, čije je opšte rešenje

. Obzirom na Košijev zadatak, mora biti

, tj.

, pa je

. Da li se to uklapa u jednačinu

. Ne baš.

Naravno, lakše je bilo rešavati jednačinu

(smenom

i dobićemo tačno uslov iz postavke zadatka), ali sam hteo da pokažem da se te dve jednačine smeju sabirati/oduzimati ako je podesno.

U tački

Lagranževa funkcija glasi

. Ispitajmo diferencijal Lagranževe funkcije pod uslovom da je diferencijal uslova jednak nuli i da smo blizu tačke koju razmatramo.

.

Zamenimo to u Lagranževoj funkciji

,

pa imamo lokalni minimum.

Što se oblasti tiče, treba ispitati stvar i na granici. Dakle,

.

Jasno je da je ovde minimum tačka (0,0) i da drugih lokalnih ekstremuma nema.

Isto tako se analizira slučaj

gde otpadaju tačke

.

Kada radimo unutar oblasti, nemamo uslove, tj. onda se minimum dostiže na otvorenoj duži

.

Naravno, ostale su nam i tačke

.

E, kad odrediš vrednosti funkcije u svim kritičnim tačkama (nevažno je da li među njima ima i viška), onda se najmanja i najveća vrednost dostižu u nekim od tih tačaka.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu