Djeljivost izraza

Djeljivost izraza 19.09.2012. u 08:29 · pre 171 mesec #1

Pozdrav!
Treba mi matematicki dokaz da je n*(n*n+2) djeljivo sa 3.

Re: Djeljivost izraza 19.09.2012. u 09:19 · pre 171 mesec #2

Ako si se bas nameracio da to dokazes matematicki, probaj sa matematickom indukcijom...

Re: Djeljivost izraza 19.09.2012. u 09:54 · pre 171 mesec #3

pa mozda moze i ovako :)
Teorija: Proizvod tri sukcesivna (uzastopna) prirodna broja je uvijek djeljiv sa tri.
Prema gore navedenom, treba dokazati da se gorinji izraz ili njegov dio moze prikazati kao proizvod tri sukcesivna prirodna broja. Pretpostavljamo da je u uslovima zadatka $n\in{N}$ . Prema tome imamo:

$n\cdot{(n^2+2)}=n\cdot{(n^2-1+3)}=n\cdot{(n^2-1)}+3n=n(n-1)(n+1)+3n=(n-1)n(n+1)+3n$ *
pošto izraz $(n-1)n(n+1)$ predstavlja proizvod tri sukcesivna prirodna broja, to je on djeljiv sa 3 pa stoga možemo pisati $(n-1)n(n+1)=3A$ gdje je $A\in{N}$

Na kraju se izraz * može napisati kao $n\cdot{(n^2+2)}=3A+3n=3(A+n)$ što je svakako djeljivo sa 3 jer je jedan faktor upravo broj 3. That's it without mathematical induction :)

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

1

Re: Djeljivost izraza 19.09.2012. u 10:00 · pre 171 mesec #4

Uradio sam indukciojom.

1. Provjera za n = k
2. Pretpostavka da je tacno za n = k
3. Dokaz da je tacno za n = k + 1

Hvala svima.

Re: Djeljivost izraza 19.09.2012. u 10:01 · pre 171 mesec #5

Ispravka: u prvom koraku je provjera za n = 1.

Re: Djeljivost izraza 19.09.2012. u 10:07 · pre 171 mesec #6

Kolinsovo resenje je svakako lepse... Moj komentar je bio samo u vezi "matematicki dokaz", nek' mi MrNash oprosti :) Jer ne znam kako bi ovo drugacije dokazao sem matematicki, ali ne neophodno matematickom indukcijom, kako mi se cini da je Kolins razumeo moj komentar... U svakom slucaju, to je to, 'vako il' 'nako...

Re: Djeljivost izraza 19.09.2012. u 10:51 · pre 171 mesec #7

Ma nema u matematici lijepih rješenja hehehehe šalim se naravno. Ukoliko se nešto može uraditi bez "više" matematike, uvijek ću prednost dati tom rješenju ovdje, jer su "korisnici" ovih rješenja i učenici npr. osnovnih škola, a oni ne znaju za pojam matematičke indukcije. Čak štaviše, ja sam matematičku indukciju učio u IV razredu srednje škole, i prema planovima i programima za većinu srednjih škola u BiH, indukcija se i uči u IV razredu (možda je izuzetak matematička gimnazija i srodne škole gdje se mat. indukcija izučava u ranijim razredima). MrNash ti nama još uvijek nisi pokazao kako si ovo dokazao matematičkom indukcijom. Ti si samo napisao korake koje treba odraditi, tj. nekakvu hajmo reći, teoriju :) Slobodno napiši i svoje rješenje, nekom će pomoći :)

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Djeljivost izraza 19.09.2012. u 12:01 · pre 171 mesec #8

Evo ga:

1. Provjera za n = 1 vam je jasna
2. n = k je pretpostavka
3. Dokaz za n = k + 1

n*(n*n+2) = n^3 + 2n

(k+1)^3 + 2*(k+1)=

k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2 =

(k^3 + 2k) + 3 + 3k^2 + 3k

Prvi sabirak (k^3 + 2k) je djeljiv sa 3 iz pretpostavke pod brojem 2 (za n = k),
svi ostali sabirci su ocigledno djeljivi sa 3 pa samim tim i zbir je djeljiv sa 3.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme