Pomoc oko cudnog zadatka s matricama

Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 12:06 · pre 173 meseca #1

Pozdravljam :) jucer sam s kolegom pokusavao rijesiti jedan zadatak s matricama, i nismo daleko dogurali.

ZADATAK: Neka je data matrica A sa $A:=7\cdot\frac{v\cdot{v^{T}}}{v^{T}\cdot{v}}-2011\cdot\frac{w\cdot{w^{T}}}{w^{T}\cdot{w}}$ pri čemu je $v,w\in{R^n}$ i $w^{T}\cdot{v}=0$ . Dokazati da je v svojstveni vektor matrice A i odrediti pripadnu svojstvenu vrijednos $\lambda$ . Ostatak zadatka nije toliko tezak, pa ga necu navoditi.

Pokušali smo ovako:

$A:=7\cdot{v\cdot{v^{T}}\cdot{(v^{T}\cdot{v})^{-1}}}-2011\cdot{w\cdot{w^{T}}\cdot{(w^{T}\cdot{w})^{-1}}}$

dalje smo pokusali razne transformacije, pazeci na pravila koja se odnose na operacije medju metricama, pravila kod inverznih i transponovanih matrica (distributivnost, asocijativnost....), a ideja nam je bila da dati izraz svedemo na nesto sto bi licilo na $(A-\lambda{I})X=0$ , kako bi odatle mozda mogli dokazati da je v svojstveni vektor, i naci $\lambda$ koje nam je potrebno da bi se mogao uraditi ostatak zadatka koji nisam ni naveo, jer nam to ne predstavlja problem.

Bio bih jako zahvalan kad bi mi neko samo dao neku ideju kako ovo rijesiti :)

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 13:28 · pre 173 meseca #2

Nesto mi tu cudno, ako su v i w vektori, onda ne postoje oba proizvoda, v sa v transponovano i obrnuto. To moze samo ako su to kvadratne matrice. Da nije nesto pogresno u postavci? A ako je v zaista vektor, v*v^T je broj...

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 13:47 · pre 173 meseca #3

kako ce V*V^T biti broj? pretpostavit' cemo da su to kvadratne matrice, onda rezultat treba da bude matrica (pa makar to bila matrica oblika [a], ali je to opet matrica, nije broj). Evo pogledao sam jos jednom tekst zadatka, i takav je kako sam ga ovdje napisao.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 14:03 · pre 173 meseca #4

Pa, ti u samoj postavci deliš nulom.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 14:13 · pre 173 meseca #5

Citat:

Kolins Balaban:
kako ce V*V^T biti broj? pretpostavit' cemo da su to kvadratne matrice, onda rezultat treba da bude matrica (pa makar to bila matrica oblika [a], ali je to opet matrica, nije broj). Evo pogledao sam jos jednom tekst zadatka, i takav je kako sam ga ovdje napisao.

Pa ako je v iz Rⁿ npr. v = (0,1,-3), koliko je v*v^T?

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 14:57 · pre 173 meseca #6

ako je v=(0,1,-3), onda je v*v^T=(0*0+1*1-3*(-3))=(10). matrica koja ima jedan jedini elemenat. nedeljko, pogledaj jos jednom uslov zadatka. ne dijeli se s nulom.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 15:27 · pre 173 meseca #7

Citat:

Kolins Balaban:
ako je v=(0,1,-3), onda je v*v^T=(0*0+1*1-3*(-3))=(10). matrica koja ima jedan jedini elemenat.

Hajde onda probaj da uradis sa tim primerom v^T*v...

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 16:19 · pre 173 meseca #8

Sad vidim šta sam loše video. OK,

$Av=7(v^Tv)^{-1}vv^Tv-2011(w^Tw)^{-1}ww^Tv=7(v^Tv)^{-1}(v^Tv)v-2011(w^Tw)^{-1}(w^Tv)w=7v-0w=7v$ .

Dakle, $\lambda=7$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 16:21 · pre 173 meseca #9

darkosos

Vektor mu je kolona, a ne vrsta, tako da je $v^Tv$ skalar, a $vv^T$ kvadratna matrica čiji je red jednak dimenziji vektora.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 17:33 · pre 173 meseca #10

Nedeljko, hvala ti mnogo. mi smo bili tako blizu rjesenju, i svo vrijeme se vrtili oko njega. trebalo je sve samo pomnoziti sa v :) jos jednom hvala.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 20:17 · pre 173 meseca #11

Citat:

Nedeljko:
Vektor mu je kolona, a ne vrsta, tako da je $v^Tv$ skalar, a $vv^T$ kvadratna matrica čiji je red jednak dimenziji vektora.

Izgleda da sam nesto pozaboravljao, ono definitivno ne moze da se mnozi i ovako i onako kao sto bi se mnozile matrice, tj. kada se vektor posmatra kao matrica u kojoj je jedna dimenzija 1.

Nasao sam ne wp neki "direktan" proizvod, pise se bez ikakvog znaka, u kome se zaista dobija matrica n x n, ali tada ne moze da se koristi ista oznaka za proizvod. Ne secam se koji je domaci izraz za to, "dijadski"? Takodje, potvrdio sam da matrica 1x1 zaista jeste skalar, tj. broj. I takodje sam pretpostavio da treba da se mnozi sa v, nego nisam stigao zbog toga sto mi je ono izgledalo nelogicno... Lako je naravno biti general posle bitke :D

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 20:51 · pre 173 meseca #12

Citat:

darkosos: Izgleda da sam nesto pozaboravljao, ono definitivno ne moze da se mnozi i ovako i onako kao sto bi se mnozile matrice, tj. kada se vektor posmatra kao matrica u kojoj je jedna dimenzija 1.

A šta smeta da se matrično pomnoži?

Proizvod matrice formata m x n i matrice formata n x p je matrica formata m x p. Dakle, proizvod matrice reda m x 1 i matrice formata 1 x m je matrica formata m x m, a proizvod matrice formata 1 x n i matrice formata n x 1 je matrica formata 1 x 1, koja se često identifikuje sa skalarom, mada u ovom zadatku to nije neophodno.

Svaka matrica se može množiti sa svojim transponatom.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 20:57 · pre 173 meseca #13

Pozdrav opet :) ima li objasnjenje zasto se proizvod na -1 (inverzni nazivnik) mnozi s lijeva a ne s desna s brojnikom? Je li to bitno ovdje? Takodjer, kako si ti uspio dobiti iz $vv^{T}v$ ovaj clan $(v^{T}v)v$ , cudna komutativnost mnozenja matrica.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 21:04 · pre 173 meseca #14

Za matrice i skalare važi zakon (aA)(bB)=(ab)(AB). Što se matrice formata 1 x 1 tiče, ona je jednaka svojoj jedinoj komponenti pomnoženoj jediničnom matricom formata 1 x 1.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc oko "cudnog" zadatka s matricama 30.07.2012. u 21:19 · pre 173 meseca #15

Citat:

Nedeljko:

Proizvod matrice formata m x n i matrice formata n x p je matrica formata m x p. Dakle, proizvod matrice reda m x 1 i matrice formata 1 x m je matrica formata m x m, a proizvod matrice formata 1 x n i matrice formata n x 1 je matrica formata 1 x 1, koja se često identifikuje sa skalarom, mada u ovom zadatku to nije neophodno.

Svaka matrica se može množiti sa svojim transponatom.

Da, stvarno... Ne znam, zasto sam mislio da ne moze, valjda mi je smetala predstava da je leva horizontalna a desna vertikalna... A samo treba broj kolona leve da bude jednak broju vrsta desne... Moracu cesce da koristim olovku i papir :)

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme