Pomoc oko dva zadatka (povrsina i integral)

Pomoc oko dva zadatka (povrsina i integral) 22.06.2012. u 12:35 · pre 174 meseca #1

pozdrav radni narode. Zapeo sam na 2 zadatka ne mogu ni pomaketi :( ili sam ja bas toliko ispao iz forme (vrlo vjerovatno da i jesam) ili mi je ova vrucina sprzila mozak :D zadaci su sljedeci:

1. Izracunati povrsinu ogranicenu krivom $(3x-2y+4)^2+(4x-5y-13)^2=12$ nasao sam neki online sajt, i on mi je iscrtao elipsu, ali je je zarotirana cini mi se. kako cu racunskim putem saznati da je ovo elipsa i njene parametre (mala osa, velika osa, e....). Kako da odredim povrsinu?

2. Izracunati integral: $\int _{1}^{\infty}\frac{\arctan{x}}{x^2\sqrt{x^2-1}}{dx}$

Unaprijed veliko hvala na svakoj pomoci, uputi, savjetu. Ugodan ostatak dana zelim....

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Pomoc oko dva zadatka (povrsina i integral) 22.06.2012. u 13:49 · pre 174 meseca #2

Citat:

Kolins Balaban: ...
1. Izracunati povrsinu ogranicenu krivom $(3x-2y+4)^2+(4x-5y-13)^2=12$ nasao sam neki online sajt, i on mi je iscrtao elipsu, ali je je zarotirana cini mi se. kako cu racunskim putem saznati da je ovo elipsa i njene parametre (mala osa, velika osa, e....). Kako da odredim povrsinu?
...

Ma prosto ... pogledaj ovo:
Svodjenje na kanonski oblik krive drugog reda
Svodjenje na kanonski oblik krive drugog reda-primeri

Re: Pomoc oko dva zadatka (povrsina i integral) 22.06.2012. u 13:52 · pre 174 meseca #3

1. Pređi na novi koordinatni sistem UXW
U=3*X-2*Y i
W=4*X-5*Y
imaćeš transliranu kružnicu.

dXdY = Jakobijan*dUdW

Da je već iskvadrirano onda bi morao da radiš svođenje na kanonski oblik.

Re: Pomoc oko dva zadatka (povrsina i integral) 29.06.2012. u 08:34 · pre 174 meseca #4

Hvala na pomoci :) ovaj integral niko nije gledao? :$

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Pomoc oko dva zadatka (povrsina i integral) 29.06.2012. u 09:28 · pre 174 meseca #5

Za integlal:

1. opcija je parcijalna integracija u=arctg(x), a dv=sve ostalo.
Iz dv=sve ostalo, v nađeš smenom x=1/t.
Da li ce moći da se uradi do kraja, ne znam dok se ne proba.

2. opcija je da razviješ arctg(x) u Tejlorov polinom.
Da li će moći da se uradi do kraja, ne znam dok se ne proba.

Re: Pomoc oko dva zadatka (povrsina i integral) 10.11.2013. u 20:30 · pre 157 meseci #6

Naleteh na ovaj problem, pa hajde da ga resimo. Najpre, odredimo neodredjeni integral $\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2-1}}$ zbog parcijalne integracije koja ce uslediti. Naime $\input amstex \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2-1}} \overset{x=\sec \theta}\to= \int \frac{d\theta}{\sec \theta} = \int \cos \theta\, d\theta = \sin \theta + c =\sin(\operatorname{arcsec} x)+c= \sin\left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right)\right) +c = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+c$ (za ovo prebacivanje $\operatorname{arcsec}$ u $\arcsin$ posmatrati pravougli trougao sa katetama $1, \sqrt{x^2-1}$ i hipotenuzom $x$ ).
Dobro, kada smo to nasli sada nalazimo da je
$\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2 \sqrt{x^2-1}}\, dx = \int_1^{+\infty} \arctan x \, \,d\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right)=\Bigl[\arctan x \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \Bigr]_{x=1}^{x\to +\infty}-\int_1^{+\infty} \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \frac{1}{x^2+1}\, dx=\frac{\pi}{2}-\int_1^{+\infty} \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \frac{1}{x^2+1}\, dx$ , te je tako ostalo jos da nadjemo ovaj poslednji integral.

$\input amstex \int_1^{+\infty} \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \frac{1}{x^2+1}\, dx \overset{x=1/y}\to= \int_1^0 \frac{\sqrt{1/y^2-1}}{1/y (1/y^2+1)}\, (-dy/y^2) =\int_0^1 \frac{y \cdot y^2 \sqrt{(1-y^2)/y^2}}{(1+y^2) y^2}\, dy=\int_0^1 \frac{\sqrt{1-y^2}}{1+y^2}\, dy$ , odnosno

$\input amstex \int_0^1 \frac{\sqrt{1-y^2}}{1+y^2} dy \overset{y=\sin z}\to= \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 z \,dz}{1+\sin^2 z}= \int_0^{\pi/2} \left(\frac{2}{1+\sin^2 z }-1\right)dz = \int_0^{\pi/2}\frac{2dz}{1+\sin^2z}-\frac{\pi}{2} \overset{t=\tan z}\to= \int_0^{+\infty}\frac{2dt}{1+2t^2}-\frac{\pi}{2}=\sqrt{2}\Bigl[\arctan(t\sqrt{2})\Bigr]_{t=0}^{t \to +\infty} =\frac{\pi\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi}{2}$ , pri cemu je korisceno $\sin^2z=\frac{t^2}{1+t^2}$ i $dz=\frac{dt}{1+t^2}$ .

Konacno $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2 \sqrt{x^2-1}}\, dx= \frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{2} - \frac{\pi\sqrt{2}}{2}=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\pi$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme