lobacevskog i ostalih geometrija

lobacevskog i ostalih geometrija 16.04.2008. u 07:19 · pre 226 meseci #1

zna li neko neku dobru knjigu iz ove oblasti (a da nije Luciceva euklidska i hiperbolicka geom.) u kojoj se uvodi i odrdjivanje razdaljine izmedju dve tacke.

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 17.04.2008. u 14:53 · pre 226 meseci #2

U poluravanskom modelu hiperbolicke geometrije $H=\{(x,y)\,:\,y>0\}$ rastojanje beskonacno bliskih tacaka $(x,y)$ i $(x+dx,y+dy)$ se definise kao $ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}$ . Slicno, u poluprostornom modelu hiperbolicke geometrije $H=\{(x,y,z)\,:\,z>0\}$ rastojanje beskonacno bliskih tacaka $(x,y,z)$ i $(x+dx,y+dy,z+dz)$ se definise kao $ds^2=\frac{dx^2+dy^2+dz^2}{z^2}$ . To znaci da se duzina luka $\vec r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ gde $t\in[a,b]$ izracunava po formuli $l=\int_a^b\frac{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}}{z(t)}dt$ . Obzirom da znas sta je u tom modelu duz sa datim krajevima, mozes da izracunas rastojanje od proizvoljne dve tacke.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 20.04.2008. u 16:48 · pre 226 meseci #3

A iz koje si knjige to naucio posto me ne interesuje samo poluravanski model, vec i disk model i klajnov model, a i interesuju me i neke druge krive?

I da te pitam sta je to tenzor(tenzorski racun), posto je znam samo to da je on kao neka "nadogradnja" vektorskog i skalarnog racuna?
I samo, hiperbolicke f-je koje se uce(spominju) u srednjoj skoli, da li imaju veze sa trigonometrijom hiperbolicke geometrije?

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 20.04.2008. u 20:15 · pre 226 meseci #4

Citat:

misham: A iz koje si knjige to naucio

"Diferencijalna geometrija" autora Nede Bokan i pokojnog Novice Blažića.

Citat:

misham: I da te pitam sta je to tenzor(tenzorski racun), posto je znam samo to da je on kao neka "nadogradnja" vektorskog i skalarnog racuna?

U istoj knjizi imaš definiciju tenzora na Rimanovoj mnogostrukosti.

Citat:

misham: I samo, hiperbolicke f-je koje se uce(spominju) u srednjoj skoli, da li imaju veze sa trigonometrijom hiperbolicke geometrije?

Formule sferne trigonometrije prelaze u formule hiperboličke planimetrije tako što trigonometrijske funkcije prelaze u odgovarajuće hiperboličke trigonometrijske funkcije. No, naziv "hiperboličke funkcije" je stariji i ima sasvim drugo poreklo.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 20.04.2008. u 22:00 · pre 226 meseci #5

pa sad, sta je to mnogostrukost? :)

je li to prostor, ili nesto drugo?

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 21.04.2008. u 11:56 · pre 226 meseci #6

U knizi imas definiciju mnogostrukosti. No, tamo nemas Klajnov disk model, niti Poenkareov disk mode, ali se i njihove metrike mogu lako izracunati.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 22.04.2008. u 11:31 · pre 225 meseci #7

Metrika na Poenkareovom disk modelu glasi:

$ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{1-x^2-y^2}$ .

Metrika na Klajnovom disk modelu glasi

$ds^2=\frac{(1-y^2)dx^2+2xy\,dxdy+(1-x^2)dy^2}{(1-x^2-y^2)^2}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 22.04.2008. u 14:50 · pre 225 meseci #8

hvala

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 07.06.2012. u 18:32 · pre 175 meseci #9

Ako sam ja dobro razumeo, da li se ovako racuna rastojanje izmedju tacaka $A(0,3)$ i $B\left(\frac{9}{4},\frac{3\sqrt{7}}{4}\right)$ u poluravanskom modelu $\mathcal{L}^2$ hiperbolicke geometrije sa prvom formom $ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}$

$x=0, \quad x+dx = \frac{9}{4} \Rightarrow dx = \frac{9}{4}$ , i slicno
$y=3, \quad y+dy=\frac{3\sqrt{7}}{4} \Rightarrow dy = \frac{3\sqrt{7}}{4} - 3 = \frac{3\sqrt{7} - 12}{4}$

Pa je $ds^2 = \frac{\frac{81}{16}+\frac{207-72\sqrt{7}}{16}}{9} =\frac{32-8\sqrt{7}}{16} = 2 - \frac{\sqrt{7}}{2}$ , odnosno $d(A,B) = \sqrt{2 - \frac{\sqrt{7}}{2}}$ .

Jel valja ovo?

I da pitam jos ovo, ako su mi date dve tacke, da li mogu da znam kako izgleda jednacina prave koja prolazi kroz te dve tacke? (u pitanju je isti model hiperbolicke geometrije, ista metrika)

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 07.06.2012. u 20:54 · pre 175 meseci #10

Pa, valjda se zna šta su u tom modelu prave i samim tim koja prolazi kroz dve date tačke.

Što se rastojanja tiče, ne valja ti račun, jer je $s=\frac{\Delta x^2+\Delta y^2}{y^2}$ samo za "beskonačno bliske tačke". Zapravo, ta metrika znači da ako ti je data kriva

$(x(t),y(t))$ , $a\leq t\leq b$ ,

onda je njena dužina

$l=\int_a^b\frac{(x'(t))^2+(y'(t))^2}{y(t)^2}\,dt$ .

E, sad, rastojanje tačaka se računa kao infimum dužina svih lukova koji spajaju te dve tačke. U ovom modelu postoji tačno jedan najkraći put između dve tačke, tj. duž određena tim tačkama, pa je hiperboličko rastojanje između dve tačke u ovom modelu dužina hiperboličke duži koja povezuje te dve tačke računata po gornjoj formuli.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 07.06.2012. u 21:46 · pre 175 meseci #11

Ja na primer znam kako da nadjem rastojanje izmedju tacaka $P(\rho, \theta)$ i $Q\left(\rho, \frac{\pi}{2}\right)$ (datih u polarnom obliku, $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ). Naime, najmanje rastojanje izmedju njih se realizuje po polukrugu sa centrom $C(0,0)$ i poluprecnika $\rho$ .

Prava koja prolazi kroz ove dve tacke i preko koje se realizuje najkrace rastojanje je $\alpha(t) = (\rho \cos t, \rho \sin t), \quad t \in (0, \pi)$ , pa je $\alpha'(t) = (-\rho \sin t, \rho \cos t)$ . S obzirom na datu metriku, $||\alpha'||^2 = I(\alpha',\alpha') = \left( \begin{array}{cc} -\rho \sin t & \rho \cos t \end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\rho^2 \sin^2 t} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\rho^2 \sin^2 t} \end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} -\rho \sin t \\ \rho \cos t \end{array}\right) = \frac{1}{\sin^2 t}$ , odnosno $||\alpha'|| = \frac{1}{\sin t}$

Pa je samim tim

$d(P,Q)=||PQ|| = \int\limits_{\theta}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin t} dt = - \log \left(\tan \frac {\theta}{2}\right)$

To je u sustini (kada ne bih radio sa konkretnim vrednostima) koliko ja vidim ista formula koju si i ti dao (samo sa korenom), koja mi do sada nije bila poznata.

Citat:

Nedeljko: Pa, valjda se zna šta su u tom modelu prave i samim tim koja prolazi kroz dve date tačke.

E, ovo mene interesuje. Bio bih ti zahvalan za malo objasnjenje.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 08.06.2012. u 01:04 · pre 175 meseci #12

Pa, ako imaju istu x koordinatu, onda je to poluprava normalna na apsolutu, a u suprotnom polukrug čiji je centar presek apsolute i simetrale euklidske duži određene tim tačkama.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 08.06.2012. u 01:17 · pre 175 meseci #13

Hvali ti mnogo! Ovaj polukrug me je nervirao, nisam znao kako da mu nadjem centar, a zaboravljao sam da mu centar mora pripadati apsoluti.

To je ono kad covek pocne bespotrebno da komplikuje stvari i ne veruje da postoji lako resenje. Upozoravali su nas na to na fakultetu, nisam verovao, al izgleda da je pocelo da se ostvaruje. Hvala jos jednom.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 11.06.2012. u 21:05 · pre 175 meseci #14

Nedeljko može pomoć oko jednog zadatka (bio na ispitu, danas). Date tri tačke u poluravanskom modelu hiperboličke geometrije i treba da nađemo hiperboličku jednačinu kruga koji sadrži te tri tačke. Ja sam uspeo da nađem hiperbolički centar i prečnik ali do jednačine ni makac.

Potpis

Vera je moja jedino ozbiljno znanje moje. Sve drugo je dečje sabiranje šarenog šljunka na jezeru.
Sveti vladika Nikolaj

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 11.06.2012. u 21:29 · pre 175 meseci #15

Nije mi jasno kako ne možeš na osnovu centra i poluprečnika da napišeš jednačinu kruga.

Ako treba dati jednačinu nečega, to je moguće samo u koordinatnom sistemu. Za to mogu poslužiti euklidske koordinate hiperboličkih tačaka. U tom slučaju, pošto je hiperbolički krug uvek euklidski krug (samo što mu hiperbolički centar nije isto što i euklidski centar) dovoljno je da nađeš euklidski krug koji sadrži te tri tačke i njegovu euklidsku jednačinu. Ako ste koristili neki drugi koordinatni sistem, onda napiši koji je sistem u pitanju.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 11.06.2012. u 22:12 · pre 175 meseci #16

Samo da razgraničimo: Znači za jednačinu hiperboličkog kruga je dovoljno naći euklidski centar i euklidski poluprečnik, tj nisu mi potrebni ni h-centar ni h-poluprečnik?

Potpis

Vera je moja jedino ozbiljno znanje moje. Sve drugo je dečje sabiranje šarenog šljunka na jezeru.
Sveti vladika Nikolaj

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 11.06.2012. u 22:52 · pre 175 meseci #17

Pa, ako su koordinate h-tačaka euklidske koordinate modela, onda je tako.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 12.06.2012. u 10:04 · pre 175 meseci #18

Hvala puno. Sad shvatam koliko sam isp`o glup.

Potpis

Vera je moja jedino ozbiljno znanje moje. Sve drugo je dečje sabiranje šarenog šljunka na jezeru.
Sveti vladika Nikolaj

Re: lobacevskog i ostalih geometrija 12.06.2012. u 11:01 · pre 175 meseci #19

Nisi glup, nego je to trik zadatak.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme