Pišem neki članak o dokazima iracionalnosti, koji bi se mogao pratiti sa gimnazijskim znanjem matematike i koji bih okačio negde na internet, kako bi se ovo znanje popularisalo.
Predznanje koje očekujem od čitaoca su osnovne osobine deljivosti (uključujući osobine uzajamno prostih brojeva i teoremu o euklidskom delenju), osnovne osobine limesa, izvoda i integrala.
Za sada sam napisao zajedno sa dokazima potrebnih pomoćnih stavova
1. Potreban i dovoljan uslov da je broj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d12e7a0cb433f0b2c2ebc4a12de85f22.png)
iracionalan, gde su
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/92e440f27bdf4c6d6b1b23402b249227.png)
pozitivni racionalni brojevi i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b0ce7e1c4fde9f3aaaaebb66d7094e3b.png)
.
2. Potreban i dovoljan uslov da je broj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/15f19859e1da7b989eded2ecaa33b3e5.png)
iracionalan, kde je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/bd7a8e482d52a7902009d3b9498df856.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
pozitivan racionalan broj.
3. Metod za dokazivanje iracionalnosti brojeva kao što su
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e9d5ed08c45b5342edaed6d590dfc395.png)
.
4. Iracionalnost broja
![](https://static.elitesecurity.org/tex/587ebc308265fb10412b131c0de00686.png)
kao i brojeva oblika
![](https://static.elitesecurity.org/tex/52adf9eafbe0e8ace83e201fa51232d5.png)
za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c76b9ab844b66e9bb740b88576a42879.png)
, odnosno brojeva
![](https://static.elitesecurity.org/tex/74cf8cd1f8208c7b4a212ee5e925a607.png)
gde je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/b032c66aa68d26c45d50420464a1285d.png)
pozitivan racionalan broj različit od 1.
5. Iracionalnost broja
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d22c13d63c715dec08743ed5e1850ce6.png)
i samim tim broja
![](https://static.elitesecurity.org/tex/3e25754f2397ae263143bda67ff13610.png)
.
6. Iracionalnost kvadrata trigonometrijskih funkcija za vrednosti argumenata koje su racionaljne i različite od nule i inverznih trigonometrijskih funkcija za vrednosti argumenata čiji su kvadrati racionalni brojevi različiti od nule.
7. Isto kao pod 6, samo za hiperboličke i inverzne hiperboličke funkcije.
Planiram da dodam:
8. Osobine racionalnih i iracionalnih brojeva kao što su (ne)periodičnost decimalnog zapisa, (bes)konačnost verižnog razvoja i teorema da ako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c3219f281e5fa0411ab22af3fee5b5a9.png)
proizvoljna racionalna funkcija sa racionalnim koeficijentima i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d5290f308bc6f5c4ddda27bf64d716cf.png)
iracionalan broj, onda je bar jedan od brojeva
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e1a929c2c078dacf79bc4d3a71b07cef.png)
iracionalan.
9. Veza između funkcija i njihovih inverza. Primera radi, stavovi da su brojevi oblika
![](https://static.elitesecurity.org/tex/52adf9eafbe0e8ace83e201fa51232d5.png)
za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c76b9ab844b66e9bb740b88576a42879.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/74cf8cd1f8208c7b4a212ee5e925a607.png)
za pozitivno racionalno
![](https://static.elitesecurity.org/tex/915f83d98c2eb7f2fe6d2b317cac4e72.png)
su ekvivalentni.
10. Uopštenje tačke 2 na brojeve oblika
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c715ca7ba08c076c0c995b1e38aa4480.png)
gde su
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/92e440f27bdf4c6d6b1b23402b249227.png)
racionalni brojevi.
11. Dopunu tačke 3 do metoda kojim se za svaki broj koji je izražen proizvoljno složenim konačnim izrazom u kome učestvuju celobrojne konstante i operacije sabiranja, oduzimanja, množenja delenja i korenovanja proizvoljnog stepena u konačnom broju koraka utvrđuje da li jeracionalan (i ako jeste koji) ili iracionalan. Postupak bi bio uopšten i na izraze u kojima se pojavljuju konstante koje su algebarski brojevi dati polinomima koji ih poništavaju i lokalizacijama (kojima se razlikuju od ostalih korena).
12. Pojmovima algebarskih i transcedentnih brojeva i osobinama kao na primer da algebarski brojevi čine polje i da su zatvoreni za korenovanje, a transcedentni za stepenovanje i korenovanje, kao i sabiranje, oduzimanje, množenje i delenje algebarskim brojevima različitim od nule. Pojam algebarski nezavisnog skupa brojeva.
13. Konstrukcija transcedentnih brojeva Kantorovim dijagonalnim postupkom i beskonačnih algebarski nezavisnih skupova istom metodom.
14. Liuvilova teorema i opšti postupak konstrukcije transcedentnih brojeva njenom primenom.
15. Transcedentnost broja
![](https://static.elitesecurity.org/tex/587ebc308265fb10412b131c0de00686.png)
.
16. Lindemanova teorema i Lindeman-Vajerštrasova teorema bez dokaza i posledice. Skica veze sa nemogućnošću kvadrature kruga lenjirom i šestarom.
17. Geljfand-Šnajderova teorema bez dokaza i posledice.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.