Kvadratne nejednacine

Kvadratne nejednacine 06.01.2012. u 19:32 · pre 180 meseci #1

Da li neko moze da mi resi ovaj zadatak, tacnije ja sam ga resila, samo zelim da proverima da li je resenje tacno:
Odrediti zbir celih brojeva p za koje nejednakost:
-9<(x^2+px-6)/(x^2-x+1)<6
vazi za svako realno x.

ja sam dobila da su resenja u intervalu (3,6) tako da je zbir celih brojeva 18, da li je to tacno ili ne?

Re: Kvadratne nejednacine 07.01.2012. u 11:06 · pre 180 meseci #2

$-9 < \frac{x^2+px-6}{x^2-x+1} < 6$
$\frac{x^2+px-6}{x^2-x+1} > -9 \wedge \frac{x^2+px-6}{x^2-x+1} < 6$

I $\frac{x^2+px-6}{x^2-x+1} > -9$
$x^2 - x + 1 > 0$ za svako $x \in R$
$x^2 +px -6 > -9x^2 + 9x -9$
$10x^2 + x(p-9) + 3 > 0$
Da bi ova nejednakost bila ispunjena za svako $x \in R$ , mora da bude $D<0$
$(p-9)^2 -4 \cdot 10 \cdot 3 < 0$
$p^2 -18p - 39 < 0$
$p_1 = 9 - 2\sqrt{30} \vee p_2 = 9 + 2 \sqrt{30}$
$\Longrightarrow p \in (9 - 2\sqrt{30}, 9 + 2 \sqrt{30} )$

II $\frac{x^2+px-6}{x^2-x+1} < 6$
$x^2 + px - 6 < 6x^2 -6x + 6$
$-5x^2 + x(p+6) - 12 < 0$
$D<0 \Longrightarrow p^2 + 12p -204 < 0$
$p_3 = -6 + 4\sqrt{15} \vee p_4 = -6 -4\sqrt{15}$
$\Longrighrarrow p \in ( -6 - 4\sqrt{15}, -6 + 4 \sqrt{15} )$

$p \in \left( (9 - 2\sqrt{30}, 9 + 2 \sqrt{30} ) \cap ( -6 - 4\sqrt{15}, -6 + 4 \sqrt{15} ) \right)$
$\Longrightarrow p \in ( 9-2\sqrt{30}, -6 + 4\sqrt{15} )$
$-1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 +5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44$

_{[Ovu poruku je menjao Sherlock Holmes dana 07.01.2012. u 19:18 GMT+1]}

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Kvadratne nejednacine 07.01.2012. u 12:38 · pre 180 meseci #3

$D<0$ ?

Re: Kvadratne nejednacine 07.01.2012. u 13:51 · pre 180 meseci #4

Pogledaj kanonski oblik funkcije $y=ax^2+bx+c$ .

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Kvadratne nejednacine 07.01.2012. u 14:21 · pre 180 meseci #5

Jasno mi je, pogrešno sam protumačio zadatak, diskriminantu sam postavio tako da rešenja budu realna i različita $D>0$ , a trebalo je upravo suprotno.
Kod druge jednačine sam dobio drugačija rešenja: $p_3 = -6+4\sqrt{15}$ i $p_4 = -6-4\sqrt{15}$ , sa tim rešenjima, krajnje rešenje(zbir) je $36$ .

Re: Kvadratne nejednacine 07.01.2012. u 14:53 · pre 180 meseci #6

Citat:

Milesija: Da li neko moze da mi resi ovaj zadatak, tacnije ja sam ga resila, samo zelim da proverima da li je resenje tacno:
Odrediti zbir celih brojeva p za koje nejednakost:
-9<(x^2+px-6)/(x^2-x+1)<6
vazi za svako realno x.

ja sam dobila da su resenja u intervalu (3,6) tako da je zbir celih brojeva 18, da li je to tacno ili ne?

Kako si ti dobila da je zbir 18? Jesi radila isto kao ja?

Citat:

lonelyrider_44: Jasno mi je, pogrešno sam protumačio zadatak, diskriminantu sam postavio tako da rešenja budu realna i različita $D>0$ , a trebalo je upravo suprotno.
Kod druge jednačine sam dobio drugačija rešenja: $p_3 = -6+4\sqrt{15}$ i $p_4 = -6-4\sqrt{15}$ , sa tim rešenjima, krajnje rešenje(zbir) je $36$ .

Napiši postupak da pogledamo kako si to dobio.

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Kvadratne nejednacine 07.01.2012. u 16:53 · pre 180 meseci #7

$p_1 = 9 - 2\sqrt{30} \vee p_2 = 9 + 2 \sqrt{30}$

II $p^2 + 12p -204 < 0$
$p_{3/4}=\frac{-12 \pm \sqrt{144+816}}{2}$
$p_{3/4}=\frac{-12 \pm \sqrt{960}}{2}$
$p_{3/4}=\frac{-12 \pm \sqrt{64*15}}{2}$
$p_{3/4}=\frac{-12 \pm 8\sqrt{15}}{2}$
$p_{3/4}=-6 \pm 4\sqrt{15}$

$p \in \left( (9 - 2\sqrt{30}, 9 + 2 \sqrt{30} ) \cap ( -6 - 4\sqrt{15}, -6 + 4\sqrt{15} ) \right)$
$p \in \left( (9 - 2\sqrt{30}, -6 + 4\sqrt{15} ) \right)$

U navedenom opsegu su celi brojevi $[-1,6]$ pa je zbir $-1+1+2+3+4+5=14$ (pogrešio sam u prethodnom postu u vezi zbira)

Re: Kvadratne nejednacine 07.01.2012. u 17:17 · pre 180 meseci #8

Ja sam ovde pogresno ukucala, ja sam dobila resenje da je zbir 12, a ne 18, i da je skup resenja nejednacine (-3,6), a ne (3,6)
a moj postupak je slican vasem, s time sto sam ja dobila kvadratne nejednacine:
-3x^2+(p+6)x-12<0 i 12x^2+(p-9)x+3>0
resenje ove , a ove
je (-18,6) (-3,21)

tako da iz obe sledi da p pripada intervalu (-3,6) , a zbir celih brojeva je onda (-2-1+0+1+2+3+4+5)=12

Re: Kvadratne nejednacine 10.01.2012. u 23:05 · pre 179 meseci #9

$x^2 -2(4m-1)x+15m^2-2m-7>0$ zadovoljena za svaki realan x...u resenju mi pise ako diskriminanta nema realnih korena( sad u redu D<0, i sve to) e na ovom sam se izgubio, zbog cega mora da nema realnih korena tj. sta bi bilo da ih ima??

Re: Kvadratne nejednacine 10.01.2012. u 23:09 · pre 179 meseci #10

Pa da bi bila stalno pozitivna diskriminanta mora biti manja od nule. To znaci da ova kvadratna funkcija (parabola) ne preseca x-osu, tj. da (kao sto si i rekao) nema realna resenja.
Pa ako bi imala realan koren (npr. $x_0$ ), onda bi za ovu kvadratnu funkciju $f(x)$ vazilo da je u toj tacki $f(x_0)=0$ , a mi zelimo da je $f(x)>0$ za sve $x$ .

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Srodne teme