Sistem jednacina (Kroneker-kapelijeva teorema) - (pomoc)

Sistem jednacina (Kroneker-kapelijeva teorema) - (pomoc) 22.11.2011. u 18:09 · pre 181 meseci #1

Moze li neko da mi kaze kako da napravim nulu u donjem levom uglu? Tj. ta poslednja transformacija mozda uopste i nije trebala da se napravi... Ako moze neko da mi pomogne.. I da pogleda da li sam uopste dobro uradio dotle? Evo slike ispod:

Sistem je (mada se vidi i sa slike):
$ax+y+z=0$
$x+ay+z=2$
$x+y+az=a$

http://i39.tinypic.com/4j9844.jpg
evo jos jedna, za svaki slucaj ako se ne vidi lepo:
http://i40.tinypic.com/2rr7a7d.jpg

Hvala unapred!

Re: Sistem jednacina (Kroneker-kapelijeva teorema) - (pomoc) 22.11.2011. u 19:12 · pre 181 meseci #2

$\left(A\left|A_p\right.\right)=\left( \begin{array}{ccccc} a & 1 & 1 & | & 0 \\ 1 & a & 1 & | & 2 \\ 1 & 1 & a & | & a \end{array} \right) \begin{array}{c} I_v\longleftrightarrow \text{III}_v \\ \begin{array}{c} \sim \\ \square \end{array} \end{array} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & a & | & a \\ 1 & a & 1 & | & 2 \\ a & 1 & 1 & | & 0 \end{array} \right) \begin{array}{c} I_v(-1)+\text{II}_v \\ \begin{array}{c} \sim \\ I_v(-a)+\text{II}_v \end{array} \end{array} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & a & | & a \\ 0 & a-1 & 1-a & | & 2-a \\ 0 & 1-a & 1-a^2 & | & -a^2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \text{II}_v+\text{III}_v \\ \begin{array}{c} \sim \\ \square \end{array} \end{array}$

$\sim \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & a & | & a \\ 0 & a-1 & 1-a & | & 2-a \\ 0 & 0 & 2-a-a^2 & | & 2-a-a^2 \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & a & | & a \\ 0 & a-1 & 1-a & | & 2-a \\ 0 & 0 & (1-a) (a+2) & | & (1-a) (a+2) \end{array} \right)$

Za $a\neq 1\land a\neq -2$ , $\text{rang}(A)=\text{rang}\left(A_p\right)=3$
Znaci jedinstveno rešenje:

$z=1, (a-1)y+1-a=2-a\Rightarrow y=\frac{1}{a-1}, x=-y$

Jedinstveno rešenje $(x,y,z)=\left(\frac{1}{1-a},\frac{1}{a-1},1\right)$

Za a=1 nemoguć.

Za a=-2, $rang(A)=rang(A_p)=2<3\Rightarrow$ beskonacno rešenja.

$-3 y + 3 z = 4$
$y=\alpha , \alpha \in \mathbb{R}$

$z=\frac{4}{3}+\alpha , x=\frac{2}{3}+\alpha$

Resenje za a=-2 , $(x,y,z)=\left(\frac{2}{3}+\alpha ,\alpha ,\frac{4}{3}+\alpha \right),\alpha \in \mathbb{R}$

Ovaj za domaći: http://www.elitesecurity.org/t421278-0

_{[Ovu poruku je menjao SrdjanR271 dana 22.11.2011. u 20:46 GMT+1]}

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Sistem jednacina (Kroneker-kapelijeva teorema) - (pomoc) 24.11.2011. u 12:12 · pre 181 meseci #3

Srdjane, imam jedno pitanje. U prvom koraku kada si zamenio mesta prvoj i trecoj vrsti, zamenio si onaj deo gde je prosirena matrica. Je l je to ispravno? Zar se transformacije ne odnose samo na matricu sistema?

Re: Sistem jednacina (Kroneker-kapelijeva teorema) - (pomoc) 24.11.2011. u 14:11 · pre 181 meseci #4

To sto sam uradio je kao da sam ovaj sistem:

x-y=1
2x+5y=9

napisao

2x+5y=9
x-y=1

Odnosno zapisano preko matrica $\left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & | & 1 \\ 2 & 5 & | & 9 \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{cccc} 2 & 5 & | & 9 \\ 1 & -1 & | & 1 \end{array} \right)$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Srodne teme