Vjerovatnost, vise pitanja

Vjerovatnost, vise pitanja 09.11.2011. u 21:43 · pre 182 meseca #1

Funkcija gustoće ima oblik
$\beta x^{2}e^{\frac{-\alpha x^{2}}{2}}, x>0$
a) naći odno između alfa i beta
b)Naci M(x), D(x)
c) za alfa=1, odrediti vjerovatnost da je P(x>1)

prvo da pitam,

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}=\sqrt{\pi }\alpha ^{-\frac{1}{2}}$

da li ova formula vazi za $\alpha \in R$
ako vazi onda znam da uradim ovo pod a) i b)

Ovo pod c) me buni, pokusavao sam uvodjenjem smjene t+1=x, pa za x->1, t->0, ali dobijem integral koji ne mogu da rijesim... ako moze pomoc oko ovoga

hvala

Re: Vjerovatnost, vise pitanja 09.11.2011. u 22:53 · pre 182 meseca #2

Citat:

motronic16A: Funkcija gustoće ima oblik

da li ova formula vazi za $\alpha \in R$

hvala

Važi za $Re(\alpha) > 0$ .

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Vjerovatnost, vise pitanja 09.11.2011. u 23:09 · pre 182 meseca #3

Za pod c) te je ovo bunilo?

$\int _{-\infty }^{\infty }x^2e^{- \frac{x^2}{2}}dx=\int _{-\infty }^{\infty }x \left(x e^{- \frac{x^2}{2}}\right)dx=\left| \begin{array}{cc} u=x & \text{du}=\text{dx} \\ \text{dv}=x e^{- \frac{x^2}{2}}\text{dx} & v=-e^{-\frac{x^2}{2}} \end{array} \right|=-\lim_{x\to \infty } \frac{x}{e^{x^2/2}}+\lim_{x\to -\infty } \frac{x}{e^{x^2/2}}+\int_{-\infty }^{\infty }e^{- \frac{x^2}{2}} \, dx=0+\sqrt{2 \pi }=\sqrt{2 \pi }$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Vjerovatnost, vise pitanja 09.11.2011. u 23:57 · pre 182 meseca #4

Gornji post je bila ideja.

Ali tebi treba ovo.

Prvo treba ti funkcija greške Erf (Error function).

$\mathrm{Erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\text{\pi}}}\int_0^z e^{-t^2} \, dt$

$\mathbb{P}(x>1)$

$\int _1^{\infty }x^2e^{- \frac{x^2}{2}}dx=\int _1^{\infty }x \left(x e^{- \frac{x^2}{2}}\right)dx=\left| \begin{array}{cc} u=x & \text{du}=\text{dx} \\ \text{dv}=x e^{- \frac{x^2}{2}}\text{dx} & v=-e^{-\frac{x^2}{2}} \end{array} \right|=-\lim_{x\to \infty } \frac{x}{e^{\frac{x^2}{2}}}+e^{-\frac{1}{2}}+\int_1^{\infty } e^{- \frac{x^2}{2}} \, dx=\left|\text{Smena} \frac{x}{\sqrt{2}}\right.=t|=\frac{1}{\sqrt{e}}+\sqrt{2}\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\infty } e^{-t^2} \, dt$

$I=\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\infty } e^{-t^2} \, dt$

$\int_0^{\infty } e^{-t^2} \, dt=\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} e^{-t^2} \, dt+\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\infty } e^{-t^2} \, dt$

$\frac{\sqrt{\pi }}{2}=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{Erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+I$

$I=\frac{\sqrt{\pi }}{2}-\frac{\sqrt{\pi }}{2}\text{Erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

$\int _1^{\infty }x^2e^{- \frac{x^2}{2}}dx=\frac{1}{\sqrt{e}}+\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}-\frac{\sqrt{\pi }}{2}\mathrm{Erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{e}}+\sqrt{\frac{\pi }{2}}-\sqrt{\frac{\pi }{2}} \mathrm{Erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 1.004220405135985$

Beta nisam pisao, jer je racun i ovako slozen. (To ćeš ti)

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Vjerovatnost, vise pitanja 10.11.2011. u 00:08 · pre 182 meseca #5

Još jedna specijalna f-ja Erfc (complementary error function).

$\mathrm{Erfc}(z)=1-\mathrm{Erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_z^{\infty } e^{-t^2} \, dt$

Pa bi onda $I=\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\infty } e^{-t^2} \, dt$ mogao da izračunaš ovako:

$I=\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\infty } e^{-t^2} \, dt=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\mathrm{Erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\left(1-\mathrm{Erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Vjerovatnost, vise pitanja 10.11.2011. u 00:26 · pre 182 meseca #6

Jesi ovo dobio pod a?

$\beta =\sqrt{\frac{\alpha ^3}{2\pi }}$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Vjerovatnost, vise pitanja 10.11.2011. u 07:21 · pre 182 meseca #7

Da, to je tačan rezultat.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Vjerovatnost, vise pitanja 10.11.2011. u 09:04 · pre 182 meseca #8

da, dobijem za $\beta$ ovaj gore rezultat

$M(x)=\frac{2\beta }{\alpha ^{2}}$

$M(x^{2})=\frac{3\beta }{\alpha ^{2}}\sqrt{\frac{\pi }{2\alpha }}$

sad samo da skontam ovo sto je srdjan napisao.... zahvaljujem

Re: Vjerovatnost, vise pitanja 10.11.2011. u 12:58 · pre 182 meseca #9

Jedno pitanje: ima li nekog značaja to što je u definiciji gustine rečeno da je x > 0?

Re: Vjerovatnost, vise pitanja 10.11.2011. u 14:28 · pre 182 meseca #10

Ima, jer bi za $\alpha\leq 0$ , $\beta\neq 0$ integral $\int_{-\infty}^\infty\beta x^2e^{-\alpha x^2/2}dx$ divergirao, a za $\beta=0$ bio jednak nuli, pa u slučaju $\alpha\leq 0$ ne bi bio jednak jedinici ni za jednu vrednost $\beta$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Vjerovatnost, vise pitanja 10.11.2011. u 15:03 · pre 182 meseca #11

Ne, nisam pitao za $\alpha$ , to mi je jasno, nego je po postavci zadatka gustina $\beta x^{2}e^{\frac{-\alpha x^{2}}{2}}, x>0$ tj gustina nije definisana na celom $R$ .

Re: Vjerovatnost, vise pitanja 10.11.2011. u 15:14 · pre 182 meseca #12

A, pa to je možda gustina desno od nule, a levo je onda jednaka nuli. U tom slučaju je sve na ooj temi rađeno pogrešno. Integrali treba da idu od nula do beskonačno, umesto od minus beskonačno do beskonačno.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Vjerovatnost, vise pitanja 10.11.2011. u 15:20 · pre 182 meseca #13

Upravo to...

Re: Vjerovatnost, vise pitanja 10.11.2011. u 15:30 · pre 182 meseca #14

$\int _0^{\infty }\beta x^2e^{-\alpha \frac{x^2}{2}}dx=\frac{1}{2}\int _{-\infty }^{\infty }\beta x^2e^{-\alpha \frac{x^2}{2}}dx=\frac{\sqrt{2 \pi } \beta }{2\alpha ^{3/2}}=1$

$\beta =\sqrt{\frac{2}{\pi }}\alpha ^{3/2}$

P(x>1) iz mog posta je tačno, samo se množi sa ovim beta.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme