Granicna vrednost niza

Granicna vrednost niza 29.10.2011. u 17:33 · pre 182 meseci #1

Niz $a_n,\forall n \in N$ je definisan na sledeci nacin $a_n={ 1 \over 2}(a_{n-1}+{ 9 \over a_{n-1}}) ,a_0=1$ .Pokazati da je niz konvergentan i naci njegovu granicnu vrednost.
Znam da treba dokazati da je monoton i ogranicen da bi bio konvergentan,posto ja nisam uspeo u tome moze li neko da mi pomogne :)??

Re: Granicna vrednost niza 29.10.2011. u 19:42 · pre 182 meseci #2

Znas kako, budes malo kvaran, i pretpostavis da je niz konvergentan (ogranicen i monoton), i pustis limes, i dobijes da je limes 3 ili -3. Cini se da je resenje 3 verovatnije, al nista nije sigurno. Ajde da pretpostavimo da je resenje 3. Imamo 2 opcije, niz je opadjuci i ogranicen odozdo, il, niz je rastuci i ogranicen odozgo. Sta cemo sad, pa proverimo prvih nekoliko clanova, i sta dobijamo: $a_0=1,a_1=5,a_2=3.4,a_3=3.02$ . Primecujemo, da nas niz, od nekog clana, tacnije od $a_1$ , da opada, i da clanovi niza, kako $n$ raste, postaju sve blize i blize trojci. Kako nas niz opada (to cu kasnije pokazati, al primecuje se), da bi konvergirao, on mora da je ogranicen odozdo. I to sa trojkom. Tu cinjenicu dokazujemo matematickom indukcijom: $a_1>3$ , pretpostavimo $a_{n-1}>3$ , i dokazujemo da je $a_n>3$ .
Pa, $a_n={ 1 \over 2}\left(a_{n-1}+{ 9 \over a_{n-1}}\right)=\frac{{a_{n-1}}^2+9}{2a_{n-1}}$ . Primenimo nejednakost izmedju aritmeticke i geometrijske sredine i dobijamo $\frac{{a_{n-1}}^2+9}{2}\geq 3a_{n-1}$ , tj. $\frac{{a_{n-1}}^2+9}{2a_{n-1}}\geq 3$ , a jednakost vazi samo za $a_{n-1}=3$ , ali po induktivnoj pretpostavci je $a_{n-1}>3$ , pa je $a_n>3$ .
Treba da pokazemo jos i da je niz monotono opadajuci, tj. $\frac{a_n}{a_{n-1}}<1$ , sto se svodi na $\frac{9-{a_{n-1}}^2}{2{a_n}^2}<0$ , tj. $9-{a_{n-1}}^2<0$ , a to je tacno jer je $a_{n-1}>3$ .

I to je to, imas da je niz od nekog clana ogranicen odozdo i opadajuci, to znaci da konvergentan.

Granicnu vrednost ces lako naci vec sam....

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Granicna vrednost niza 29.10.2011. u 20:58 · pre 182 meseci #3

Hvala!!

Srodne teme