Mehanički problem

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 11:24 · pre 184 meseci #21

Pod integralom fali jedno F i takodje je (t1 - t0). Na kraju si dobio deljenje sa 2 - odakle?

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 12:02 · pre 184 meseci #22

Nisam bas neki teorijski fizicar, a matematicar jos manje, ali ajd' da pokusam.

Mislim da ti je pogresna pretpostavka da je energija za ubrzanje necega od npr. 5m/s do 7m/s ista kao i za ubrzanje od 10m/s do 12m/s.
Ti si izjednacio djelovanje sile sa ulozenom energijom, sto u principu nije nezavisno od referentnog sistema.
Rad, koji je forma izrazavanja energije, je jednak proizvodu sile i puta, tako da rad koji neka sila obavi ubrzavajuci tijelo od 5 do 7 m/s nije isti kao i rad koji obavi ubrzavajuci ga od 10 do 12 m/s, jer ta dva tijela predju razlicit put dok ubrzaju za ta 2 m/s.
Tako ispada da energija zavisi upravo i od izbora referentnog sistema (jer zavisi od predjenog puta), a time i prirast energije.

Ako uzmes dva slucaja:
A: v0 = 0 m/s, v1 = 2 m/s
B: vo = 5 m/s, v2 = 7 m/s

U oba slucaja imas povecanje brzine od 2 m/s, ali ako uzmes da racunas dE = E(v1) - E(v0) dobijes:

U slucaju A imas da je dE = ( 2² - 0² ) x K = 4 x K
U slucaju B imas da je dE = ( 7² - 5² ) x K = 24 x K
gdje je u 'K' zgurano sve ono sto nije u vezi sa v tj. v0.

Iz ovoga se vidi da se ulozena energija razlikuje za 24/4 = 6 puta u ova dva slucaja.

Malo djeluje zbunjujuce, ali posto rad zavisi ne samo od sile nego i od predjenog puta onda mora zavisiti i od izbora referentnog sistema.
Ono sto pretpostavljam da unosi zabunu je misljenje da ako nesto guras nekom silom neko vreme, da je energija koja je za to potrebna uvijek ista bez obzira da li guras auto koji u startu ide 50 km/h ili auto koji ide 100 km/h.
Medjutim, ako sad postavis stvari ovako: recimo da ti svojim automobilom treba da poguras neki drugi automobil tako da ga ubrzas od 0 do 10 km/h.
U tom slucaju precices svojim automobilom mozda 10-tak metara za 5s i potrosices vrlo malo benzina. Ako sad to treba da uradis da poguras neki automobil od 100 km/h do 110 km/h precices za tih 5s ~140m i normalno je da ti vise beznina treba uz isti otpor (sila kojom guras drugi automobil) da predjes 140 m nego 10m.

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 12:34 · pre 184 meseci #23

Evo sta kaze wiki:

Citat:

The speed, and thus the kinetic energy of a single object is frame-dependent (relative): it can take any non-negative value, by choosing a suitable inertial frame of reference. For example, a bullet passing an observer has kinetic energy in the reference frame of this observer, but the same bullet is stationary, and so has zero kinetic energy, from the point of view of an observer moving with the same velocity as the bullet.[2] By contrast, the total kinetic energy of a system of objects cannot be reduced to zero by a suitable choice of the inertial reference frame, unless all the objects have the same velocity. In any other case the total kinetic energy has a non-zero minimum, as no inertial reference frame can be chosen in which all the objects are stationary. This minimum kinetic energy contributes to the system's invariant mass, which is independent of the reference frame.

Nedeljko, od kolicine goriva ne zavisi put koji ces preci vec brzina. U neotpornoj sredini ako neko samo gurne auto on se nece zaustaviti sam od sebe.

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 13:05 · pre 184 meseci #24

Citat:

kandorus: Pod integralom fali jedno F

Da, fali $\vec F$ pod integralom, ali je uračunato u kasnijem računu.

$\Delta E=\int_{t_0}^{t_1}\vec F(t)\vec v(t)\,dt$ , gde je $\vec v(t)=\vec v_0+m^{-1}\vec F(t-t_0)$ za $\vec v_0=\vec v(t_0)$ .

Neka je sila konstantnog intenziteta $F$ i deluje u pravcu i smeru brzine u trentku $t_0$ . Neka je $v(t)$ intenzitet vektora brzine i $v_0=v(t_0)$ .

$v(t)=v_0+(t-t_0)m^{-1}F$ ,

$\Delta E=\int_{t_0}^{t_1}v(t)F\,dt=F\int_{t_0}^{t_1}(v_0+(t-t_0)m^{-1}(t)F)\,dt=F(v_0(t_1-t_0)+(t_1-t_0)^2F/(2m))$ .

Citat:

kandorus: Na kraju si dobio deljenje sa 2 - odakle?

Otuda što je $\int(t-t_0)\,dt=\frac{(t-t_0)^2}2+C$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 13:17 · pre 184 meseci #25

Citat:

HeYoo: Nedeljko, od kolicine goriva ne zavisi put koji ces preci vec brzina. U neotpornoj sredini ako neko samo gurne auto on se nece zaustaviti sam od sebe.

Da bi automobil prešao put od tačke A do tačke B, gorivo mu treba za savladavanje inercijalnih sila na početku, dok ne dostigne ciljnu brzinu i za savladavanje otpora tokom puta u cilju održavanja brzine, pri čemu pred kraj može da isključi motor i da pusti trenje da ga zaustavi. Pritom se na putu od Beograda do Kragujevca skoro svo utrošeno gorivo potroši na savladavanje otpora tokom puta.

No, moje razmatranje se odnosi na početno savladavanje inercijalnih sila u neotpornoj sredini.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 14:30 · pre 184 meseci #26

Nedeljko, opet ti izračunati integral nije uredan. Sada si dodao jedno (t) ispred F pod integralom.
Ako računamo po formuli

$v(t)=v_0+m^{-1}\int_{t_0}^{t_1}F(t)\,dt$

i F nezavisno od vremena, dobije se

$v(t)=v_0+m^{-1}F(t_1-t_0)$

Dalje je

$\Delta E=F\int_{t_0}^{t_1}(v_0+(t_1-t_0)m^{-1}F)\,dt$

A odatle je

$\Delta E=F\int_{t_0}^{t_1}v_0\,dt+F\int_{t_0}^{t_1}(t_1-t_0)m^{-1}F\,dt$

I konačno

$\Delta E=Fv_0(t_1-t_0)+(t_1-t_0)^{2}m^{-1}F^2=Fv_0\Delta t+(\Delta t)^{2}m^{-1}F^2$

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 15:09 · pre 184 meseci #27

Da, opet se potkrala greška u kucanju.

$v(t)=v_0+(t-t_0)m^{-1}F$ ,

$\Delta E=\int_{t_0}^{t_1}v(t)F\,dt=F\int_{t_0}^{t_1}(v_0+(t-t_0)m^{-1}F)\,dt=F(v_0(t_1-t_0)+(t_1-t_0)^2F/(2m))$ .

Citat:

kandorus: Ako računamo po formuli

$v(t)=v_0+m^{-1}\int_{t_0}^{t_1}F(t)\,dt$

Ova formula jednostavno nije tačna jer desna strana ne zavisi od t, pa ispada da je v konstantno. Treba

$\vec v(t)=\vec v_0+m^{-1}\int_{t_0}^t\vec F(\tau)\,d\tau$ .

Fizičari bi pisali

$\vec v(t)=\vec v_0+m^{-1}\int_{t_0}^t\vec F(t)\,dt$ ,

ali se matematičari sablažnjavaju takvog zapisa.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 16:10 · pre 184 meseci #28

kandorus,

$\int_a^bf(x)\,dx$ ne zavisi od $x$ , kao što je na primer $\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi 4$ .

Dalje, po Njutn-Lajbnicovoj formuli je

$\int_{t_0}^{t_1}\vec a(t)\,dt=\int_{t_0}^{t_1}\vec v'(t)\,dt=\vec v(t_1)-\vec v(t_0)=\vec v_1-\vec v_0$ .

Odatle je $\vec v_0+\int_{t_0}^{t_1}\vec a(t)\,dt=\vec v_0+\vec v_1-\vec v_0=\vec v_1=\vec v(t_1)$ , a ne $\vec v(t)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 18:44 · pre 184 meseci #29

Da vrednot tog integral za izračunavanje broja Pi ne zavisi od x. Takodje ima i obrnutih primera gde vreednost integrala zavisi od x.

Samo da napomenem, neke pojmove fizičari i matematičari različito definišu. Kao što si i sam primetio to vezano za integrale, o čemu smo već diskutovali a Bašić u svojoj brzopletosti obrisao zbog "nekvaliteta". Xa Xa Xa. A sada im najvrednija radilica foruma matematike upravo koristi formule u kojima je f(t) "neka funkcija" kao što sam napisao u onim "nekvalitetnim" komentarima.

Medjutim, u vezi poslednjeg integrala koji si ispisao imam primedbu. U opštem slučaju tačno je sledeće

$v_0+\int_{t_0} ^{t_1}a(t)dt=v_0+v(t_1)-v(t_0)\neq v(t_1)$

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 19:07 · pre 184 meseci #30

Kakav opsti slucaj? Valjda se podrazumjeva da je v0 = v(t0) ?!

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 19:23 · pre 184 meseci #31

kandorus, mislio sam da nećeš da se vraćaš na taj svoj blam, po kome je

Citat:

$v(t)=v_0+\int_{t'}^{t''}f(t)\,dt$ za neku funkciju $f(t)$ koja određuje brzinu,

u koj je pogrešno sve od početka do kraja. Prvo, pod integralom mora biti ubrzanje i ništa drugo, a drugo, čak i kada se stavi ubrzanje pod integral, po Njutn-Lajbnicovoj formuli je

$v_0+\int_{t'}^{t''}a(t)\,dt=v_0+\int_{t'}^{t''}v'(t)\,dt=v_0+v(t'')-v(t')\neq v(t)$ . Jednostavno, izraz sa desne strane tvoje jednakosti ne zavisi od $t$ . To što si napisao je pokazivalo potpuno nerazumevanje onoga o čemu si pisao. Pritom si se pozivao na formulu

$v=\int a\,dt$

koju si pročitao u nekom udžbeniku i koja je nešto sasvim drugo.

Drugo, u celom ovom razmatranju je $v_0$ oznaka za brzinu u trenutku $t_0$ , tj. skraćenica za $v(t_0)$ , tako da je

$v_0+v(t_1)-v(t_0)=v(t_0)+v(t_1)-v(t_0)=v(t_1)$ .

Treće, matematičari nikada ne pišu integrale po promenljivoj od koje zavise granice integrala. To je moguće zato što je

$\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^bf(t)\,dt$

pod uslovom da se x i t ne javljaju u granicama a i b. Vrednost integrala zavisi od domena integracije, funkcije koja se integrali i mere po kojoj se integrali, tako da se često piše i

$\int_a^bf\,dm$ .

To je potpuno isto kao što $1^2+2^2+\cdots+m^2$ možeš pisati kao $\sum_{n=1}^mn^2$ ili kao $\sum_{k=1}^mk^2$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 19:49 · pre 184 meseci #32

Primeri kod kojih integral nije konstanta su oblika

$f(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}g(x,t)\,dt$

i tu nema zavisnosti od promenljive po kojoj se integrali, već od promenljivih od kojih zavise granice i promenljivih od kojih zavisi podintegralna funkcija izuzimajući promenljivu po kojoj se vrši integracija.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 22:36 · pre 184 meseci #33

Citat:

No, moje razmatranje se odnosi na početno savladavanje inercijalnih sila u neotpornoj sredini.

Pa tako sam i shvatio ali ona prica sa gorivom ne stoji jer diskutujemo pojednostavljen sistem. Gorivo se trosi da se objekat prebaci iz jednog u drugo inertno stanje. Ako bi se posmatrac kretao striktno paralelno sa objektom koji bi ubrzavao pod dejstvom neke spoljasnje sile za njega bi kineticka energija posmatranog objekta bila nula svo vreme. Za isti slucaj posmatrac iz nekog drugog inercijalnog referentnog sistema bi "video" preomenu kineticke energije objekta.

Re: Mehanički problem 18.08.2011. u 23:13 · pre 184 meseci #34

^Odin D.

Ako je t0 = 0 onda je v(t0) = 0. Medjutim ono v0 ne mora biti jednako 0. Uzmi na primer: telo se kreće brzinom v0 = 5m/s. Zatim u intervalu [t0(=0), t1] na telo počne da deluje promenljiva sila tako da telo ubrzava promenljivim ubrzanjem a(t) = 6t - 4. Odrediti zavisnost brzine kao funkcije vremena.

v = v0 + ∫(6t-4)dt (u granicama [t0(=0), t1])

Reši se integral

∫(6t-4)dt = 3t^2 - 4t

Uvrštavanjem granica za vreme dobije se

I = v(t1) - v(t0)

gde je v(t0) = 3t0^2 - 4t0 = 0 != v0

v(t0) je komponenta brzine koja potiče od promenljivog ubrzanja u trenutku t0
v(t1) je komponenta brzine koja potiče od promenljivog ubrzanja u trenutku t1

I sada je

v = v0 + 3t1^2 - 4t1 + v(t0) = 5 + 3t1^2 - 4t1 != v(t1) = 3t1^2 - 4t1

Dakle (u ovom slučaju) integralom se odredi doprinos brzini koji potiče od promenljivog ubrzanja. Ubrzanje ne deluje na komponentu v0 i zato v0 nije konstanta integraljenja.

^Nedeljko

Sam si uveo "neku funkciju" F(t). Pozz.

Re: Mehanički problem 19.08.2011. u 06:58 · pre 184 meseci #35

Citat:

HeYoo: Ako bi se posmatrac kretao striktno paralelno sa objektom koji bi ubrzavao pod dejstvom neke spoljasnje sile za njega bi kineticka energija posmatranog objekta bila nula svo vreme.

Joj, pa to je ubrzani posmatrač. On svoje ubrzanje mora da uzme u obzir.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mehanički problem 19.08.2011. u 08:52 · pre 184 meseci #36

Nedeljko, zavisnost izmedju izabranog referentnog sistema i kineticke energije tijela nije linearna vec kvadratna.
Zbog toga v0 ne moze jednostavno da "ispari" iz jednacina kad oduzimas dvije kineticke energije za dva razlicita referentna sistema jer 7-5 (pomjeraj u referentnom sistemu) nije isto sto i 7²-5² (pomjeraj kineticke energije).

@Kandorus
Ti se bavis objasnjavanjem razlicitosti slova.
Znam ja da u opstem slucaju v0 nije jednako v(t0) ako pretpostavimo da je v0 sljiva, a v(t0) rezervna guma od autobusa.
Medjutim zasto bismo pretpostavljali takvo nesto u temi u kojoj uopste nije rijec o sljivama i rezervnim gumama od autobusa?!?!?

Re: Mehanički problem 19.08.2011. u 09:10 · pre 184 meseci #37

Ma, jasno je meni da se dobija takav rezultat, ali kako onda objasniti da mi treba ista količina goriva za istu stvar (recimo, ubrzavanje kosmičkog broda raketnim motorima u neotpornoj sredini) nezavisno od tačke posmatranja?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mehanički problem 19.08.2011. u 10:40 · pre 184 meseci #38

kandorus

Ovde piše šta znači $v_0$ :

Citat:

Nedeljko: Neka je sila konstantnog intenziteta $F$ i deluje u pravcu i smeru brzine u trentku $t_0$ . Neka je $v(t)$ intenzitet vektora brzine i $v_0=v(t_0)$ .

Što se tvog poslednjeg komentara tiče, podsetiću te da ovo nije niti forum Advocacy, niti forum MadZone.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mehanički problem 19.08.2011. u 11:30 · pre 184 meseci #39

^Odin D.

Ma šta veliš? Bavim se objašnjavanjem "različitosti slova"? Jel? A ti o "sljivama i rezervnim gumama"?

Pazi ovako, rešenje neodredjenog integrala je

I = ∫f(x)dx = F(x) + C

dok za odredjeni integral u granicama [a, b] važi

I = F(b) - F(a)

Nema nikakve dodatne konstante! Ova (Njutn-Lajbnicova) formula je pomenuta nekoliko puta na ovoj temi (i u prethodnoj temi) i korišćena kao argument protiv mojih stavova!?@!!

Već iz tih činjenica, vezano za integrale, trebalo je biti jasno da ono v0 nije konstanta integraljenja. Odnosno, ne radi se o "različitosti slova" već o elementima odredjenog (složenog) procesa. Za razumevanje tog procesa nije dovoljno znati napamet tablicu neodredjenih integrala, zar ne?

^Nedeljko

U prvom postu si napisao

Citat:

telo mase m kreće slobodno u inercijalnom sistemu brzinom v0. Delujmo na njega konstantnom silom F tokom vremena ∆t = t1 - t0.

Dakle, ono v0 nije isto ono v(t0) iz već opisanih razloga i osobina (odredjenog) integrala.

Re: Mehanički problem 19.08.2011. u 12:06 · pre 184 meseci #40

Dakle, u trenutku $t_0$ počinjem da delujem silom $\vec F$ , a u trenutku $t_1$ prestajem da delujem ili me dešavanje posle $t_1$ ne zanima. Do trenutka $t_0$ telo se kretalo brzinom $\vec v_0$ , pa je $\vec v_0$ brzina u trenutku $t_0$ , odnosno

$\vec v(t_0)=\vec v_0$ .

Za $t_0\leq t\leq t_1$ važi

$\vec v\,'(t)=m^{-1}\vec F(t)$ .

Integracijom dobijamo da je

$m^{-1}\int_{t_0}^t\vec F(\tau)\,d\tau=\int_{t_0}^t\vec v\,'(\tau)\,d\tau=\vec v(t)-\vec v(t_0)=\vec v(t)-\vec v_0$ , pa je na kraju

$\vec v(t)=\vec v_0+m^{-1}\int_{t_0}^t\vec F(\tau)\,d\tau$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Srodne teme