Primena kompleksnih brojeva u geometriji

Kompleksni brojevi su vrlo moćna stvar prilikom rešavanja mnogih geometrijskih zadataka. Mana ovakvog pristupa je što se često dolazi do nekog dugačkog računa, a prednost je što se geometrijski zadaci od kojih neki mogu zahtevati neku ideju koju je teško uočiti na ovaj način svedu na čist šablon. Pa, ko voli nek izvoli :)

Da ja ne bih tupio sa nekom teorijom kada su to radili mnogi ljudi pre mene, prikačio sam jedan dokument gde su objašnjene osnove (na kraju teksta, nakon zadataka), a sve ostalo će doći na svoje mesto nakon vežbanja, vežbanja i samo vežbanja.

Naravno, ukoliko bude bilo nekih pitanja u vezi sa ovom tematikom, slobodno ih postavite ovde.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

A jel bi mogao da objasniš primenu kompleksnih brojeva u geometriji na nekom konkretnom primeru?

Potpis

Bolje jedno vruće pivo nego četri ladna!

Evo dva zadatka sa resenjima:

1.(Savezno 1990, 3-4 raz) Neka je centar opisanog kruga, a ortocentar trougla . Neka je, dalje, takva tacka da je srediste duzi i neka su , i , redom tezista trouglova , i . Dokazati da je .


Resenje:

Neka je tj. krug je jedinicni. Onda je .
Kako je S srediste duzi HQ to je , pa je . Za tezista , i dobijamo , i . Onda je . Slicno se dobija da je i

2. Dokazati da su centar opisanog kruga , ortocentar i teziste trougla kolinearni i da je .

Resenje:

Neka je tj. krug je jedinicni. Onda je i . Kako je to su tacke , i kolinearne. I kako je imamo da je izmedju i i da je

_{[Ovu poruku je menjao qzqzqz dana 04.11.2005. u 19:43 GMT+1]}

Krug koji sadrzi tacke , i je jedinicni. Zasto je srediste luka na kojem nije bas , a ne ?

_{[Ovu poruku je menjao qzqzqz dana 06.12.2005. u 12:17 GMT+1]}

Pa meni se čini da si skroz u pravu

Ako prvo odabereš tačke . Središta lukova između tačaka će biti tačke i . A sad tačku možeš da biraš tako da upadne u koji god luk poželiš.

Znači fali nam neko dodatno ograničenje...

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Teorema glasi tacno ovako:

Za svaki trougao abc upisan u jediniˇcni krug postoje brojevi u, v,w takvi da je , , , a srediˇsta lukova
koja ne sadrˇze taˇcke su taˇcke redom..





_{[Ovu poruku je menjao qzqzqz dana 06.12.2005. u 20:27 GMT+1]}

Inace je sa dodatne u Mg (druga godina).

_{[Ovu poruku je menjao qzqzqz dana 06.12.2005. u 20:25 GMT+1]}

To je već druga stvar

Neka je:







Onda su tražena središta:





Jasno je da kao i , pa traženo središte nema argument nego .

sada možemo birati ovako:





i očigledno je da važi:



.


_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 07.12.2005. u 00:49 GMT+1]}

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Geometrijske transformacije i kompleksni brojevi:

Translacija
Ako su dati vektori u ravni i , tada se istima mogu dodeliti kompleksni brojevi z = x + iy, a = α + iß. Translacija vektora za vektor rezultira u vektoru koji odgovara kompleksnom broju µ = z + a.

Sto se tice prvog postavljenog zadatka on se mogao resiti na malo drugaciji nacin:
Znaci uzmemo da nam je gde nam je poluprecnik opisane kruznice.
Ako nam je tacka R tacka preseka prave AS i prave BC imacemo .Posto je tacka teziste i prolazi kroz S dobijamo da je ..,,..Sto je i trebalo dokazati.Slicno se dobija i za ostale dve duzi.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Zbog ovoga nisam otvaro novu temu.

Zadatak je sljedeci:
Neka je precnik kruga opisanog oko trougla i neka taj precnik sece stranicu u tacki .Ako su i podnozja normala iz na stranice ,odnosno ,dokazati da je .Elementarno rjesenje ovog zadatka je lako uociti.Ali problem nastaje kad primenim kompleksne brojeve.Evo sta sam dobio.Treba da se dokaze:

Neka je krug opisan oko datog trougla jedinicni:.Posto je normalno na ,,i normalno na ,..I za tacke i imamo:,.Posto se zadatak svodi na to da dokazemo .Treba li sad da u izrazu ubacujem samo vrijednosti za i , da onda na osnovu tog racuna dobijem ono sto se dokazuje ili ne?

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Skriptica na srpskom.