Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc...

Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 14.07.2011. u 03:38 · pre 186 meseci #1

Imam nekolka zadatka koja nisam uspeo da resim, pa bih zamolio da ko bude znao sledece zadatke neka mi ostavi objasnjenje/upustvo kako da ih radim.
1. Jednacina $\frac {a^2 - 2x}{2x + 1} - \frac {a^2 + 2x}{1 - 2x} = \frac {2a^4 - 1}{4x^2 - 1}$ ima jedinstveno resenje za :
A) za svako $a$ ; B) $a\not= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ ; C) $a\not=\pm \sqrt \frac{1+\sqrt{7}}{2}$ D) $a\not= \sqrt \frac{1+\sqrt{7}}{2}$ E) $a\not=\pm \sqrt \frac{1+\sqrt{13}}{2}$
Sredjivao sam ovu jednacinu, prebacio sam sve na levu stranu i dobijem jednacinu $4a^2x + 4x - 2a^4 + 1 = 0 , x\not= \pm \frac{1}{2}$ Ne znam kako dalje. Ja sam mislio cu kada sredim ovu jednacinu dobiti kvadratnu jednacinu po $x$ , pa da postavim uslov da je $D = 0 , b^2 - 4ac = 0$ Onda bih dobio kvadratnu jednacinu ili bikvadratnu po $a$ , to resim i dobijem vrednost realnog parametra $a$ Ali se sve iskomplikovalo. Moguce je i da sam negde u racunu pri sredjivanju jednacine pogresio.
2. Resiti jednacinu:
$x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a = 0$ ( $a$ realan parametar) Ovde me buni to sto se javlja $x$ prvog stepena. Radio sam kvadratne( $x^2, x$ ) i bikvadratne( $x^4, x^2$ ), ali nemam ideju kako ovaj zadatak da radim.
3. Ako je $\lambda_0$ vrednost parametra $\lambda$ za koju je nejednakost $\frac {x^2 + 3x + \lambda}{x^2 + x + 1}<2$ tacna za sve realne vrednosti $x$ osim za jednu, onda $\lambda_0$ pripada:
A) $(0,1]$ ; B) $(1,2]$ ; C) $(2,3]$ ; D) $(3,4]$ ; E) $(-\infty, 0] \cup (4, +\infty)$
Za ovaj zadatak, nemam ideju, buni me ovo "osim za jednu"... Ne znam kako bih to resio. To je to. Hvala unapred! Svaka pomoc je dobrodosla!

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 14.07.2011. u 04:33 · pre 186 meseci #2

Citat:

Sherlock Holmes:
Sredjivao sam ovu jednacinu, prebacio sam sve na levu stranu i dobijem jednacinu $4a^2x + 4x - 2a^4 + 1 = 0 , x\not= \pm \frac{1}{2}$ Ne znam kako dalje. Ja sam mislio cu kada sredim ovu jednacinu dobiti kvadratnu jednacinu po $x$ , pa da postavim uslov da je $D = 0 , b^2 - 4ac = 0$ Onda bih dobio kvadratnu jednacinu ili bikvadratnu po $a$ , to resim i dobijem vrednost realnog parametra $a$ Ali se sve iskomplikovalo. Moguce je i da sam negde u racunu pri sredjivanju jednacine pogresio.

Rešiš po x, i dobiješ $x=\frac{2 a^4-1}{4 \left(1+a^2\right)}$ .

Sad samo vidiš kad je $\frac{2 a^4-1}{4 \left(1+a^2\right)}\neq \pm \frac{1}{2}$ .

Ispostaviće se da je to ispunjeno pod C).

Toliko od mene, odoh da spavam.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 14.07.2011. u 07:24 · pre 186 meseci #3

$x^4-2 a x^2-x+a^2-a=0$

$x^4-x-a x^2-a x^2+a^2-a=0$

$x\left(x^3-1\right)-a x^2-\text{ax}-a-a x^2+a^2+a x=0$

$x(x-1)\left(x^2+x+1\right)-a\left(x^2+x+1\right)-a\left(x^2-x-a\right)=0$

$\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x-a\right)-a\left(x^2-x-a\right)=0$

$\left(x^2-x-a\right)\left(x^2+x+1-a\right)=0$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 14.07.2011. u 08:15 · pre 186 meseci #4

Treći, $\lambda_0=\frac{7}{4}$ .

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 14.07.2011. u 10:57 · pre 186 meseci #5

Hvala puno! Prva dva su mu jasna. Ali kod treceg, ako mozes samo malo da mi pojasnis. Imam pocetnu jednacinu $\frac {x^2 + 3x + \lambda}{x^2 + x + 1}<2$ , kada prebacim $2$ na levu stranu dobijem nejednacinu $\frac{-x^2 + x + \lambda - 2}{x^2 + x + 1} < 0$ Posto je polinom $x^2 + x + 1 > 0$ za svako realno $x$ , tada postavljam uslov da je $-x^2 + x + \lambda - 2 < 0$ Ova nejednakost ce biti ispunjena za svako realno $x$ ako je $D < 0$ . Postavim tu nejednakost i dobijem da je $\lambda < \frac{7}{4}$ Do ovoga sam uspeo da dodjem kada sam resavao zadatak, ali ne znam sta dalje... Je l' moze malo objasnjenje? A, $\lambda_0= \frac{7}{4}$ je tacno resenje, pripada intervalu $(1,2]$ , sto je i resenje zadatka.

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 14.07.2011. u 11:28 · pre 186 meseci #6

Rečeno je da je za tu vrednost parametra jednakost tačna za sve realne vrednosti promenljive, osim za jednu. Ovo što si ti izračunao je skup vrednosti parametra za koje je nejednakost tačna za sve vrednosti parametra, a to nije ono što se traži. Pročitaj bolje zadatak.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 14.07.2011. u 11:36 · pre 186 meseci #7

Onda je ovde trebao da se postavi uslov da je $D = 0$ ? I dobijemo vrednost $\lambda_0$ ...

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 14.07.2011. u 15:29 · pre 186 meseci #8

Da.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 14.07.2011. u 21:08 · pre 186 meseci #9

Najmanja vrednost izraza $x^2 + px + q$ je $1$ i dostiže se za $x = 5$ . Vrednost zbira $p + q$ je:
A) $12$ ; B) $14$ ; C) $16$ ; D) $18$ ; E) $20$
Pokušavao sam da uradim ovaj zadatak tako što sam postavio vrednost izraza da je $1$ i da je $x=5$ . Dobijem jednačinu $5p + q = -24$ . Pošto imaju dve nepoznate, pokušao sam da dobijem sistem od dve jednačine sa dve nepoznate. Znamo za formulu za teme funkcije, koje se obeležava $T(x,y)$ . Ovde je $y$ najmanja vrednost izraza, $y = 1$ . Formula za izračunavanje $y$ preko koeficijenata kvadratne jednacine je $y = \frac {b^2 - 4ac}{-4a} , y = 1$ . Dobijem jednacinu $p^2 - 4q - 4 = 0$ . I, sad imam sistem od dve jednačine sa dve nepoznate. Ali, sad nastaje problem. Izrazim $q$ iz $p^2 - 4q - 4 = 0$ i dobijem da je $q = \frac{p^2 - 4}{4}$ . Kada $q$ ubacim u prvu jednacinu, $5p + q = -24$ , dobijem kvadratnu jednacinu $p^2 + 20p + 92 = 0$ . Kada je rešim po $p$ dobijem da je $p_1,_2 = -10 \pm 2\cdot \sqrt{2}$ . I sad ne znam sta da radim, imam dve vrednosti za $p$ , kada to zamenim u drugu jednacinu da dobijem $z$ , dobicu takođe 2 rešenja $z$ . Je l' moglo drugačije da se radi, da se izbegnu ova dupla rešenja?

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 14.07.2011. u 21:38 · pre 186 meseci #10

Ako se ne varam
$\begin{array}{l} y(5) = 1 = 25 + 5p + q \Rightarrow 5p + q = - 24 \\ T\left( { - \frac{b}{{2a}}, - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}} \right) \Rightarrow x = 5 = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{p}{2} \Rightarrow p = - 10 \\ \\ q = - 24 - 5p = 26 \Rightarrow p + q = 16 \\ \end{array}$

Iz koje zbirke su ovi zadaci?

Re: Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 14.07.2011. u 22:17 · pre 186 meseci #11

Uuh, da, da... Samo sam zakomplikovao. Zadaci su sa pripremnog matemarijala za prijemni iz matematike na MATF. Radim to po malo, pa nadje se po neki zadatak koji ne uspem da uradim. Hvala puno!

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 14.07.2011. u 22:35 · pre 186 meseci #12

Citat:

Sherlock Holmes: ... Zadaci su sa pripremnog matemarijala za prijemni iz matematike na MATF...

Da li imas specijalizovanu zbirku koja sadrzi zadatke u skladu sa programom polaganja prijemnog ispita?
Da li znas gde moze da se nadje ova zirka u elektronskom obliku?

Re: Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 14.07.2011. u 22:41 · pre 186 meseci #13

Imam je u pdf formatu. I moze da se nadje na internetu, samo ne znam da li smeju da se ostavljaju linkovi, nelegalno skidanje. Mogu ti poslati preko PP ako ovde nije dozvoljeno. Imas PP od mene, pogledaj.

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Raznovrsni zadaci, ako moze mala pomoc... 15.07.2011. u 10:23 · pre 186 meseci #14

Evo ti drugi način, preko izvoda.
$f(x)=x^2+px+q$

$f(5)=1$

$f'(x)=2x+p$

$f'(x)=0 \Leftrightarrow 2x+p=0$

Pošto znamo da je minimum u x=5, onda je

$2*5+p=0 \Rightarrow p=-10$

$f(x)=x^2-10x+q$

$5^2-50+q=1 \Rightarrow q=26$

$p+q=16$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme