komplikovane funkcije

komplikovane funkcije 25.06.2011. u 18:24 · pre 186 meseci #1

Imam problem sa sledecim zadacima:
$f(x)+3f({1 \over x})=x^2$ ,Naci $f(2)$
evo kako sam ja poceo da radim: ${1 \over x}=t , x={1 \over t}$
I dobijam sledece: $f({1 \over t})+3f(t)={1 \over t^2}$ ,i sad treba da dobijem nekakav sistem funkcionalnih jednacina i da onda resim,ali ne znam da nastavim.
Drugi zadatak.
Kaze naci sve realne brojeve za koje je: $f(xy)=f(x)f(y)$
$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$ i naci $f(x)$
E ovaj zadatak ne znam ni da pocnem,jedino sto znam jeste to da se ovakvi zadaci rade nekako matematickom indukcijom ali nemam pojma kako?
Hvala unapred na pomoci.

Re: komplikovane funkcije 25.06.2011. u 19:21 · pre 186 meseci #2

Za prvi:

Ovako kako si ti krenuo, dobices prvu jednacinu (to je ovo sto si ti napisao):

$f\Bigg{(}\frac{1}{t}\Bigg{)}+3f(t)=\frac{1}{t^2}$

Drugu jednacinu dobijes tako sto umesto $t$ u prvoj jedacini stavis $\frac{1}{t}$

$f(t)+3f\Bigg{(}\frac{1}{t}\Bigg{)}=t^2$

Sada imas sistem od 2 jednacine i gledaj da izgubis clan $f\Bigg{(}\frac{1}{t}\Bigg{)}$

$f\Bigg{(}\frac{1}{t}\Bigg{)}+3f(t)=\frac{1}{t^2}\\f(t)+3f\Bigg{(}\frac{1}{t}\Bigg{)}=t^2$

$-3f\Bigg{(}\frac{1}{t}\Bigg{)}-9f(t)=-\frac{3}{t^2}\\f(t)+3f\Bigg{(}\frac{1}{t}\Bigg{)}=t^2$

$f(t)=\frac{\frac{3}{t^2}-t^2}{8}$

$f(x)=\frac{3-x^4}{8x^2}$

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Re: komplikovane funkcije 25.06.2011. u 21:21 · pre 186 meseci #3

Aha hvala sad sam shvatio.
A kako da resim DRUGI zadatak?

Re: komplikovane funkcije 25.06.2011. u 22:14 · pre 186 meseci #4

Je l si siguran da je ovo drugo ceo zadatak? Tj. da li si siguran da nema jos nesto sto je dato?

Mene ovo neodoljivo podseca na izvod, ali ne znam kako dalje da resim. Ideja je sledeca:

$f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy$

Definicija izvoda $f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Ako se poigramo sa gornjom jednacinom

$f(x+y)-f(x)=f(y)-2xy$

Recimo da je $y=h$

$f(x+h)-f(x)=f(h)-2xh\\ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{f(h)}{h}+2x$

ako sada pustimo da h tezi 0

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} + 2x$
$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(h)}{h} + 2x$

Ako bismo recimo znali koliki je ovaj limes sa desne strane, prostom integracijom bi se naslo f(x) sa tacnoscu do konstante (koja bi mogla da se odredi).

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Re: komplikovane funkcije 25.06.2011. u 22:51 · pre 186 meseci #5

Možda ovako.

$f(xy)=f(x)f(y)$

$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$

$f(0+0)=f(0)+f(0)+0$

$f(0)=2f(0)\Longrightarrow f(0)=0$

$f(x-x)=f(x)+f(-x)-2x^2$

$0=f(x)+f(-1)f(x)-2x^2$

$f(x)(1+f(-1))=2x^2$

$f(-1)=?$

$f(-c)=f(-1)f(c)\land c\neq 0\Longrightarrow f(-1)\neq 0$

$f(x(-x))=f(x)f(-x)$

za $x=1$

$f(-1)=f(1)f(-1)\Longrightarrow f(1)=1$

$f(1-1)=f(1)+f(-1)-2$

$0=1+f(-1)-2\Longrightarrow f(-1)=1$

Konačno $f(x)(1+f(-1))=2x^2$

$f(x)*2=2x^2$

$f(x)=x^2$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme