Problem sa dva zadatka

Problem sa dva zadatka 24.06.2011. u 17:33 · pre 186 meseci #1

Duze vreme pokusavam da resim dva sledeca zadatka:
1)Odredi ostatak pri deljenju broja $3^{2010}+5^{2010}+14^{2010}$ sa $26$
2)Resi jednacinu: $||x-1|-5|=a$
Naime prvi zadatak nemogu da resim sto imam nekoliko sabiraka da je naprimer da se odredi ostatak pri deljenju $3^{2010}$ sa 26 to bih znao da uradim,al ne znam
ovo kad ima vise od jednog sabirka.
A drugi zadatak nije mi jasno sto imaju ove dve apsolutne zagrade.Lako je resiti kad bi pisalo $|x-1|-5=a$ tad bi imao dva slucaja kad je ovo u zagradi vece ili jednako nuli i onda manje od nule.
Al kako sad kad imam dve zagrade uopste mi nije jasno.
Hvala unapred.

Re: Problem sa dva zadatka 24.06.2011. u 18:31 · pre 186 meseci #2

U 2. nacrtaj grafik i vidi koliko imas resenja u zavisnosti od $a$ , odnosno gledas koliko puta tvoj grafik $y = ||x-1|-5|$ preseca prava $y=a$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Problem sa dva zadatka 24.06.2011. u 18:48 · pre 186 meseci #3

Ja sam bas ovaj prvi zadatak vezbao za takmicenje iz matematike. Ne mogu ti psiati nista, jer ne znam da radim u Latex-u, pa ce to sto ti napisem, ako ne bude smesno, biti zalosno. :) Nadjes ostatak pri deljenju prvog broja sa 26, zatim drugog i treceg. Saberes ta tri ostatka i ako je zbir veci od 26, onda nadjes ostatak deljenja tog zbira sa brojem 26, aa ako je zbir manji od 26, onda je to ostatak pri deljenju ta tri broja sa 26. Nadam se da si me razumeo. Ako nesto nije jasno pitaj ;)

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Problem sa dva zadatka 24.06.2011. u 19:02 · pre 186 meseci #4

Prvi je isto prost, rešenje je 14.

Hint:

nađi koliko je ostatak pri deljenju sa 26 brojeva $3^{3k+1}, 3^{3k+2}, 3^{3k+3}, 5^{4k+1}, 5^{4k+2}, 5^{4k+3}, 5^{4k+4}, 14^k, k \ge 0$

Re: Problem sa dva zadatka 24.06.2011. u 19:17 · pre 186 meseci #5

A ako neces ovako kako sam ti ja rekao (a msm da je tako lakse), onda radis kao obicnu apsolutnu vrednost, nema razloga da te buni to sto imas 2 apsolutne vrednosti:
$|x-1| = x-1, x\geq 1$ , i tad ti se jednacina svodi na $|x-1-5|=a$ , i to posle resavas obicno (samo pazi da je $x\geq 1$ ) i kad je $x<1$ , onda imas $|-x+1-5|=a$ , isto pazis gde radis...

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Problem sa dva zadatka 24.06.2011. u 19:29 · pre 186 meseci #6

Za prvi zadatak:
$3^3 \equiv_{26}1 \Longrightarrow 3^{2010} \equiv_{26}1$
$5^2 \equiv_{26}-1 \Longrightarrow 5^{2010} \equiv_{26}-1$
$14^2 \equiv_{26}14 \Longrightarrow 14^{2010} \equiv_{26}14^{1005} \Longrightarrow 14^{2010} \equiv_{26}14$ .
$(-1+1+14)<26 \Longrightarrow 26|(3^{2010}+5^{2010}+14^{2010}) = 14$

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Problem sa dva zadatka 24.06.2011. u 20:17 · pre 186 meseci #7

Nisam uspeo uraditi drugi zadatak. Kada zameni uslove za apskolutnu vrednost, dobijem na kraju 3 jednacine i 3 uslova:
I X-6=a , X>=6
II X+4=-a , x<=-4
III x+4=a , x E (-4,1)
Ne znam kako dalje... Mozda sam negde usput pogresio... Ja sam postavio 4 uslova, [ (x-1)<0 v (x-1)>=0] v [ (x-1-5)<0 v (1-x-5)>=0]... Ali jednu jednacinu gubim, jer nema preseka kod uslova...

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: Problem sa dva zadatka 24.06.2011. u 20:24 · pre 186 meseci #8

http://www.wolframalpha.com/input/?i=||x-1|-5|

i vidi se, za $a\in(-\infty,0)$ j-na nema resenje, za $a=0$ j-na ima 2 resenja, za $a\in(0,5)$ , jednacina ima 4 resenja, za $a=5$ jednacina ima 3 resenja, i za $a\in(5,+\infty)$ jednacina ima 2 resenja...

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Problem sa dva zadatka 25.06.2011. u 13:10 · pre 186 meseci #9

ZADATAK 2.

Za $a\in [0, 5]$ , rješenja određujemo po formulama:
$x_1=a+6$ ,
$x_2=-a-4$ ,
$x_3=-a+6$ ,
$x_4=a-4$ .

Za $a\in (5, +\infty)$ , rješenja određujemo po formulama:
$x_1=a+6$ ,
$x_2=-a-4$ .

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme