Integral iz realnih i kompleksnih funkcija

Integral iz realnih i kompleksnih funkcija 18.06.2011. u 22:52 · pre 187 meseci #1

Imam problem sa sledecim integralom:

Uploaded with ImageShack.us

Nisam siguran da li sam dobro uradio ove limese i da li su oba nula, ako jesu nikako ne mogu da dobijem tacan rezultat integrala koji iznosi (2(pi)^2)/27.
Svaka pomoc bi dobro dosla, ako neko zna gde gresim bio bi mu zahvalan da me uputi na prav put.

Potpis

MILAN

Re: Integral iz realnih i kompleksnih funkcija 22.03.2013. u 00:29 · pre 165 meseci #2

Neka je $I=\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x \ln x}{x^3+1}dx$ . Posmatrajmo funkciju $f(z)=\frac{z g^2(z)}{z^3+1}$ , $g(z)=\ln|z|+i \varphi$ , $\varphi= \arg z \in (0, 2\pi)$ . Tu funkciju cemo integraliti po konturi (vidi sliku) $\Gamma$ komponovanu od sledecih krivih: $\gamma_R : z=Re^{it}, \, t \in [0,2\pi]$ , $l_1: z=-t, t \in [-R,-\varepsilon]$ , $\gamma_{\varepsilon} : z=\varepsilon e^{it}, \, t \in [-2\pi,0]$ , $l_2: z=t, t \in [\varepsilon,R]$ , gde su $R>1, \varphi \in (0,1)$ proizvoljni. Tada nule imenioca $\input amstex -1,e^{i \frac{\pi}{3}},e^{-i\frac{\pi}{3}} \in \text{Int}(\Gamma)$ .

Tada je $(1)$

\input amstex 
\begin{align*} \int\limits_{\Gamma} f(z) \,dz &=& 2\pi i \left(\input amstex  \underset{ z=-1}\to{\operatorname{Res}} f(z)+\input amstex  \underset{ z=e^{i \frac{\pi}{3}}}\to{\operatorname{Res}} f(z)+\input amstex  \underset{ z=e^{-i \frac{\pi}{3}}}\to{\operatorname{Res}} f(z) \right)\\
&=& \displaystyle  2\pi i \left(\frac{-g^2(-1)}{3}+\frac{e^{i \frac{\pi}{3}}g^2(e^{i \frac{\pi}{3}})}{3e^{i \frac{2\pi}{3}}}+\frac{e^{-i \frac{\pi}{3}}g^2(e^{-i \frac{\pi}{3}})}{3e^{-i \frac{2\pi}{3}}}\right)\\
&=& \displaystyle 2\pi i \left(\frac{\pi^2}{3}-\frac{\pi^2}{27}e^{-i \frac{\pi}{3}}-\frac{25\pi^2}{27}e^{i \frac{\pi}{3}}  \right)\end{align*}

Sa druge strane $(2)$

\begin{align*} \displaystyle \int\limits_{\Gamma} f(z)\, dz}&=& \overbrace{\int\limits_{\gamma_R} f(z) dz}^{I_R}+ \displaystyle\int\limits_{l_1} f(z) dz+\overbrace{\int\limits_{\gamma_{\varepsilon}} f(z) dz}^{I_{\varepsilon}}+\int\limits_{l_2} f(z) dz\\
&=& I_R+I_{\varepsilon} + \displaystyle \int\limits_{-R}^{-\varepsilon}\frac{t g^2(-t)}{1-t^3}dt+\int\limits_{\varepsilon}^{R} \frac{t g^2(t)}{t^3+1} dt \\
&=& I_R+I_{\varepsilon} + \displaystyle \int\limits_{-R}^{-\varepsilon}\frac{t (\ln(-t)+i 2\pi)^2}{1-t^3}dt+\int\limits_{\varepsilon}^{R} \frac{t \ln^2 t}{t^3+1} dt\\
&=& I_R+I_{\varepsilon} -4 \pi i \int\limits_{\varepsilon}^{R} \frac{ t \ln t}{t^3+1}dt+4\pi^2 \int\limits_{\varepsilon}^{R} \frac{dt}{t^3+1}\end{align*}

Iz $(1)$ i $(2)$ dobijamo kad $R \to +\infty$ i $\varepsilon \to 0_+$ :
$-4\pi i \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x \ln x}{x^3+1}dx +4\pi^2 \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{dx}{x^3+1}=2\pi i \left(\frac{\pi^2}{3}-\frac{\pi^2}{27}e^{-i \frac{\pi}{3}}-\frac{25\pi^2}{27}e^{i \frac{\pi}{3}} \right)$ .
Sledi, $I=-\frac{1}{4\pi} \Im \left[2\pi i \left(\frac{\pi^2}{3}-\frac{\pi^2}{27}e^{-i \frac{\pi}{3}}-\frac{25\pi^2}{27}e^{i \frac{\pi}{3}\right)\right]=-\frac{1}{4\pi} \left[ \frac{2\pi^3}{3} -\frac{2\pi^3}{27} \cos \frac{\pi}{3}-\frac{50 \pi^3}{27} \cos \frac{\pi}{3} \right]=-\frac{1}{4\pi} \left[\frac{2\pi^3}{3} -\frac{\pi^3}{27} -\frac{25 \pi^3}{27} \right]=\frac{2\pi^2}{27}$

Primetime da smo ovom prilikom nasli i $J=\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{x}{x^3+1}dx$ . Naime $J=\frac{1}{4\pi^2} \Re \left[2\pi i \left(\frac{\pi^2}{3}-\frac{\pi^2}{27}e^{-i \frac{\pi}{3}}-\frac{25\pi^2}{27}e^{i \frac{\pi}{3}\right)\right]=\frac{1}{4\pi} \left[-\frac{2\pi^3}{27} \sin \frac{\pi}{3}+\frac{50 \pi^3}{27} \sin \frac{\pi}{3} \right]=\frac{1}{4\pi^2} \left[ -\frac{\sqrt{3}\pi^3}{27}+\frac{25\sqrt{3}\pi^3}{27}\right]=\frac{2\sqrt{3}}{9}\pi$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Untitled.png16.16k

Re: Integral iz realnih i kompleksnih funkcija 22.03.2013. u 01:27 · pre 165 meseci #3

Lepo, još samo kada bi nam otkrio koji program koristiš sa crtanje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Integral iz realnih i kompleksnih funkcija 22.03.2013. u 11:33 · pre 165 meseci #4

Hvala.

Koristio sam PGF/TikZ, kod se kuca u LaTeX-u, pocetnik sam i nisam mnogo vešt (sto ce se videti i iz koda). Evo i koda:

Code:
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,decorations.markings}
\begin{document}

\begin{tikzpicture}
% Configurable parameters
\def\gap{0.2}
\def\bigradius{3}
\def\littleradius{0.5}

% Axes
\draw [help lines,->] (-1.25*\bigradius, 0) -- (1.25*\bigradius,0);
\draw [help lines,->] (0, -1.25*\bigradius) -- (0, 1.25*\bigradius);
% Red path
\draw[fill=orange!50,line width=1pt,   decoration={ markings,
      mark=at position 0.2455 with {\arrow[line width=1.2pt]{>}},
      mark=at position 0.765 with {\arrow[line width=1.2pt]{>}},
      mark=at position 0.87 with {\arrow[line width=1.2pt]{>}},
      mark=at position 0.97 with {\arrow[line width=1.2pt]{>}}},
      postaction={decorate}]
  let
     \n1 = {asin(\gap/2/\bigradius)},
     \n2 = {asin(\gap/2/\littleradius)}
  in (\n1:\bigradius) arc (\n1:360-\n1:\bigradius)
  -- (-\n2:\littleradius) arc (-\n2:-360+\n2:\littleradius)
  -- cycle;

% The labels
\node at (3.6,-0.2){$x$};
\node at (-0.24,3.53) {$iy$};
\node at (-0.6,0.43) {$\gamma_{\varepsilon}$};
\node at (-1.8,2.8) {$\gamma_{R}$};
\node at (1.9,0.29) {$l_2$};
\node at (1.555,-0.32) {$l_1$};

%\draw [decoration={ markings,
%      mark=at position 1/6 with {\arrow[line width=1.2pt]{>}},
%      mark=at position 0.5 with {\arrow[line width=1.2pt]{>}},
%      mark=at position 5/6 with {\arrow[line width=1.2pt]{>}}},
%      postaction={decorate}]
%      (0,0) circle (2cm);

\draw[fill=white,line width=1pt,   decoration={ markings,
      mark=at position 0.0001 with {\arrow[line width=1.2pt]{<}},
      mark=at position 0.4 with {\arrow[line width=1.2pt]{<}},
      mark=at position 0.8 with {\arrow[line width=1.2pt]{<}}},
      postaction={decorate}]
      (1.128,1.667) circle (7pt)
      (-2,0) circle (7pt)
      (1.128,-1.667) circle (7pt);

\end{tikzpicture}
\end{document}

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Integral iz realnih i kompleksnih funkcija 22.03.2013. u 12:08 · pre 165 meseci #5

YFKM? Kucao si sliku? :) Koji si ti kralj...

Re: Integral iz realnih i kompleksnih funkcija 22.03.2013. u 12:57 · pre 165 meseci #6

U postavci su se, cini se, potkrale neke stamparske greske: kod definicije $\gamma _{\varepsilon}$ treba da stoji $\varepsilon e^{it}$ . I kao da si na slici zamenio l1 i l2 u odnosu na definiciju...

Re: Integral iz realnih i kompleksnih funkcija 22.03.2013. u 18:22 · pre 165 meseci #7

Jeste, hebene greske. Ispravljeno.

Inace, naravno da cu da kucam sliku. Kucanje u PGF/TikZ ima svoje prednosti, potovo sto se lepo slaze sa LaTeX-om. Bolje da su nas ucili da radimo u njemu, nego onaj GCLC.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Integral iz realnih i kompleksnih funkcija 22.03.2013. u 19:01 · pre 165 meseci #8

Nas nisu učili ni $\LaTeX$ . Koje su prednosti kucanja slika u poređenju sa radom u programu za crtanje koji izvozi to u neki $\LaTeX$ sors?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Integral iz realnih i kompleksnih funkcija 22.03.2013. u 19:31 · pre 165 meseci #9

Kao da sam znao da ces se ti javiti.

Ne uce ni nas, osim ako uzmes predmet Programski paketi u matematici, izborni.

Ne znam. Imas nesto http://tex.stackexchange.com/q...n-source-tools-like-openoffice. Za vise guglaj, ja ne znam. Meni se jednostavno svidja.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme