kvadratna jednacina

kvadratna jednacina 15.06.2011. u 17:44 · pre 187 meseci #1

Jednacina je sledeca: $x^2-13[x]+11=0$ u skupu realnih brojeva,gde je $[x]$ najveci ceo broj ne veci od $x$ .
Evo kako sam ja zamisljao da je idradim: $[x]=1+k$ i onda bi dobio $x^2-13k-2=0$ , i onda bih tako nekako probao da je resim.

AKo neko moze biti ljubazan da mi pomogne oko ove jednacine da mi kaze dal sam dobro poceo ili da mi pokaze i da me uputi kako da je resim bio, bih zahvalan.

Re: kvadratna jednacina 15.06.2011. u 18:59 · pre 187 meseci #2

Ako je [x] najveci ceo broj ne veci od x, onda mozemo da napisemo sledece [x]=x-1. I to zamenis. Nisam 100% siguran, ali probaj tako da uradis.

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

Re: kvadratna jednacina 15.06.2011. u 19:08 · pre 187 meseci #3

Citat:

Ako je [x] najveci ceo broj ne veci od x, onda mozemo da napisemo sledece [x]=x-1.

ne moze se tako zapisati mislim nemora da znaci. $[x]$ moze da bude $x-1 \lor x-2 \lor x-3 \lor x-k$ ,ili ili ili itd....

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: kvadratna jednacina 15.06.2011. u 20:33 · pre 187 meseci #4

Moze li neko da mi pomogne kako da resim jednacinu.

Re: kvadratna jednacina 15.06.2011. u 21:14 · pre 187 meseci #5

Ali pise da je NAJVECI ceo broj, ne veci od X. Ako napises x-2 znaci da ima od njega veci ceo broj koji je manji od x a to je x-1. Mozda gresim.

Potpis

"Nije mi žao što su ukrali moje ideje, već što nisu imali svoje." Nikola Tesla

1

Re: kvadratna jednacina 16.06.2011. u 09:39 · pre 187 meseci #6

X ne mora biti ceo broj.
[X] je oznaka za ceo deo od X.

[2.78] = 2
[4] = 4
[5.99999] = 5
[-1.87] = -2

[X] = k gde važe nejednakosti: X-1 < k <= X

Re: kvadratna jednacina 16.06.2011. u 10:13 · pre 187 meseci #7

Prvo nađi nule obične kvadratne jednačine.

Kvadratna jednačina ima nule u okolini tačaka x=1 i x=12
(nule su ${{13-\sqrt{125}} \over 2}$ i ${{13+\sqrt{125}} \over 2}$ )

Za interval x (1,2), kvadratna jednačina postaje:
$x^2 - 2 = 0$
pa je rešenje koje pripada intervalu:
$x_1 =\sqrt {2}$

Za interval x (12, 13) imamo da je
$x^2 - 145 = 0$
pa je rešenje
$x_2 =\sqrt {145}$

Re: kvadratna jednacina 16.06.2011. u 15:31 · pre 187 meseci #8

@djoka_l
Bili mogo jos malo da mi objasnis ovaj drugi deo resenja:

Citat:

Za interval x (1,2), kvadratna jednačina postaje: $x^2-2=0$ pa je resenje koje pripada intervalu $x_1=\sqrt{2}$ .Za interval x(12,13) imamo da je $x^2-145=0$ pa je resenje $x_2=\sqrt{145}$

Re: kvadratna jednacina 16.06.2011. u 15:51 · pre 187 meseci #9

X2=12.090169943749474241022934171828

[12.090169943749474241022934171828] = 12

To je zameniu u početne jednačine umesto [X].

X2 jeste veći od 12, ali X1 nije veći od 1, nego je manji od 1.
Međutim, opet je dobio ispravna rešenja.
Obična kvadratna jednačina mu je samo služila da locira X.

Re: kvadratna jednacina 16.06.2011. u 23:23 · pre 187 meseci #10

Evo još malo da objasnim.

Početna jednačina se posebno rešava na poluzatvorenim intervalima [k, k+1) gde je k ceo broj ( $k \in Z$ ).

Za $\forall x \in [k, k+1)$ važi $\lfloor x \rfloor = k$ , pa jednačina
$x^2 - 13 \lfloor x \rfloor + 11 = 0$
može da se napiše kao

$x^2 - 13 k + 11 = 0$ za $\forall x \in [k, k+1)$

Za $x \in [1,2)$
jednčina glasi
$x^2 - 13*1 +11 = 0$ ,
a kada se to sredi, ostane
$x^2 - 2 = 0$
Ova jednačina ima dva realna korena $-\sqrt{2}, \sqrt{2}$ , ali samo rešenje $x=\sqrt{2}$ pripada intervalu [1,2).

Odmah da kažem da sam i ja napravio grešku, jednačina ima 4 rešenja (ja sam ti dao samo dva). Evo kako Wolfram alpha to lepo reši:
[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2-13int%28x%29%2B11%3D0]Wolfram Alpha[/url]

Uf, ES ne ume da prikaže link kako treba, idi na sajt http://www.wolframalpha.com i ukucaj: x^2-13int(x)+11=0

Re: kvadratna jednacina 17.07.2011. u 13:17 · pre 186 meseci #11

Pošto me je jedan član zamolio, hajde da priložim svoje rešenje.

$x^2-13[x]+11=0$ ,
$x^2-13(x-\{x\})+11=0$ ,
$x^2-13\,x+11=-13\{x\}$ .

Odavde sledi da je

$-13<x^2-13x+11\leq 0$ .

Rešenje poslednje dvostruke nejednačine je

$\left(x<\frac{13-\sqrt{73}}2\lor x>\frac{13+\sqrt{73}}2\right)\land\frac{13-\sqrt{125}}2\leq x\leq\frac{13-\sqrt{125}}2$ ,

$x\in\left[\frac{13-\sqrt{125}}2,\frac{13-\sqrt{73}}2\right)\cup\left(\frac{13+\sqrt{73}}2,\frac{13+\sqrt{125}}2\right]\subseteq[1,2)\cup[10,13)$ .

Za $x\in[1,2)$ jednačina se svodi na $x^2-13\cdot 1+11=0$ , čije je jedino rešenje u skupu $[1,2)$ dato sa $x=\sqrt 2$ .

Za $x\in[10,11)$ jednačina se svodi na $x^2-13\cdot 10+11=0$ , čije je jedino rešenje u skupu $[10,11)$ dato sa $x=\sqrt{119}$ .

Za $x\in[11,12)$ jednačina se svodi na $x^2-13\cdot 11+11=0$ , čije je jedino rešenje u skupu $[11,12)$ dato sa $x=\sqrt{132}$ .

Za $x\in[12,13)$ jednačina se svodi na $x^2-13\cdot 12+11=0$ , čije je jedino rešenje u skupu $[12,13)$ dato sa $x=\sqrt{145}$ .

Dakle, jednačina ima četiri rešenja.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

3

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme