Cudnovate jednacine

Cudnovate jednacine 25.05.2011. u 14:59 · pre 187 meseci #1

Imam ogromnih problema da sa resavanjima sledecih jednacina prosto ne znam kako se one i slicne njima resavaju:
Dokazati da je $[ a+ \frac{1}{2}]=[2a]-[a]$ .znam sta predstavljaju ovakve zagrade predstavljaju ceo deo broja.
Zatim kaze izracunati zbir: $S=[\frac{x+1}{x}]+[\frac{x+2}{x+1}]+ \dots +[\frac{x+k}{x+k-1}]$ ,za $\frac{1}{2}< x < 1$ i $k \in N$

Re: Cudnovate jednacine 25.05.2011. u 16:47 · pre 187 meseci #2

Formiraj niz $a_n=\left[\frac xn\right]+\cdots+\left[\frac{x+n-1}n\right]$

Za $0\leq x<1$ je $a_n=0$ , a inače je $a_n-a_{n-1}=1$ za svako $n\in Z$ , odakle je $a_n=[x]$ . Prva jednakost je specijalan slučaj ove za $n=2$ .

Sa druge strane, u drugom zadatku je očigledno $\left[\frac{x+i+1}{x+i}\right]=\left[1+\frac 1{x+i}\right]=1+\left[\frac 1{x+i}\right]$ .

E, sad, izračunaj koliko je $\left[\frac 1{x+i}\right]$ kada je $\frac 12<x<1$ i $i\in N_0$ . Nije teško.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Cudnovate jednacine 26.05.2011. u 02:40 · pre 187 meseci #3

Sto se tice prvog zadatka nije mi bas najbolje jasno Nedeljkovo resenje evo ga neko lakse: $a=[a]+b$ . $0 \le b< {1 \over 2}$ .
Proveravanjem se dobija tacnost jednakosti.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Cudnovate jednacine 26.05.2011. u 09:43 · pre 187 meseci #4

Da, nisam napisao kako treba.

$a_n(x)=\left[\frac xn\right]+\cdots+\left[\frac{x+n-1}n\right]$ .

$a_n(x+1)-a_n(x)=\left[\frac{x+n}n\right]-\left[\frac xn\right]=\left[\frac xn+1\right]-\left[\frac xn\right]=\left[\frac xn\right]+1-\left[\frac xn\right]=1$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Cudnovate jednacine 26.05.2011. u 18:17 · pre 187 meseci #5

Pa drugi zadatak sam resio.
Al sto se tice prvog nikako nemogu da prekontam ovo sto je nedeljko napisao.
Mozda cu bit dosadan ali bi li mogao opet da mi objasnis prvi zadatak.

Re: Cudnovate jednacine 26.05.2011. u 20:18 · pre 187 meseci #6

Neka je $[x]=m$ i $x-m=y$ . Dakle, $0\leq y<1$ .

$a_n=\left[\frac{n+y}2\right]+\left[\frac{n+y+1}2\right]$ .

$a_{n+1}-a_n=\left[\frac{n+y+2}2\right]-\left[\frac{n+y}2\right]=\left[\frac{n+y}2+1\right]-\left[\frac{n+y}2\right]=\left[\frac{n+y}2\right]+1-\left[\frac{n+y}2\right]=1$ ,

$a_0=\left[\frac{y}2\right]+\left[\frac{y+1}2\right]=0+0=0$

Dakle, $a_n=n$ , pa je $\left[\frac x2\right]+\left[\frac{x+1}2\right]=\left[\frac{m+y}2\right]+\left[\frac{m+y+1}2\right]=a_m=m=[x]$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme