čudnovat broj e

Re: čudnovat broj e 19.04.2011. u 11:09 · pre 189 meseci #21

Mmm, da. Sad sam se setio. U vreme dok još nije bilo svih tih čuda tehnike upotrebljavane su Logaritamske Tablice. U njima su dati logaritimi sa osnovom 10.

Tada

e = 1o^1/ln10

e^w = 1o^w/ln10

Zato umesto

N_t = N₀e^wt

zamenom k=w/ln10 korišćeno je

N_t = N₀1o^kt

Pa pozdravi profesora jer "biljke rastu prema broju 10".

U stvari, dugo (kao i danas) je primenjivana formula sa dekadnim eksponentom pa je istorijski put geneze formule bio obrnut, tj od stepena sa osnovom 10 do stepena sa osnovom e. Iz eksperimentalnih podataka konstruisani su dijagrami (na milimetarskom papiru) a dobijena prava linija je bila pogodna za lako očitavanje.

Re: čudnovat broj e 19.04.2011. u 17:18 · pre 189 meseci #22

Možda najlepša f-la $e^{i \pi }+1=0$

I jedna jos luđa $\lim_{n\to \infty } \frac{1}{\ln P_n}\prod _{k=1}^n \frac{1}{1-\frac{1}{P_n}}=e^{\gamma }$ , $e^{\gamma }\approx 1.78107241799019\text{...}$
Gde je $P_n$ n-ti prost broj.
A $\gamma \approx 0.577215664901532\text{...}$ Ojler-Maskeronijeva konstanta

$\gamma =\lim_{n\to \infty } \left(\sum _{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln n\right)$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: čudnovat broj e 19.04.2011. u 20:52 · pre 189 meseci #23

Ako bismo u ovu formulu

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac zn\right)^n=e^z$

stavili da je z = 0 onda bi to odgovaralo katastrofalnoj suši, zar ne,jer bismo dobili e⁰ = 1,
t.j. biljka stagnira nema prirasta, a osim toga profesor bi mogao da za bilo kakve uslove nađe
odgovarajući eksponent z i da ga u skladu sa uslovima menja tokom godine.

Re: čudnovat broj e 20.04.2011. u 00:31 · pre 189 meseci #24

Gde god je priraštaj dF direktno proporcionalan trenutnoj vrednosti veličine F (ne njenom kvadratu F^2 ili nečemu drugom) dobija se e:

dF = F*svašta
dF/F = svašta
ln(F) = integral (svašta) + C

F = K*e^(integral od svašta)

Re: čudnovat broj e 20.04.2011. u 01:26 · pre 189 meseci #25

Kada zategnemo konopac on zbog svoje težine neće biti ravan već
povijen.U svakoj tačci tog konopca horizontalna komponenta sile je konstanta i jednaka je sili zatezanja konopca.To jako liči na konstantu
subtangente kod eksponencijalnih funkcija.Rješenje diferencijalne jednačine to dokazuje.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: čudnovat broj e 21.04.2011. u 12:10 · pre 189 meseci #26

Nedeljko:

$\left(1+\frac 1\infty\right)^\infty=(1+0)^\infty=1^\infty=nedefinisano$

Ovo se može smatrati proizvoljnom ili čak pogrešnom tvrdnjom ukoliko se ne dokaže.

Re: čudnovat broj e 21.04.2011. u 12:36 · pre 189 meseci #27

Pa, dato ti je kompletno izvođenje. Naravno, korišćene su standardne operacije u pročirenom skupu realnih brojeva (konstantama $\infty$ i $-\infty$ ).

Drugo je pitanje zašto su te operacije tako definisane, tj. zašto se radi baš sa takvim operacijama.

$\frac 1\infty=0$ zato što je količnik niza koji teži jedinici i niza koji teži beskonačnosti niz koji teži nuli.
$1^\infty$ je nedefinisano jer ako je $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=1$ i $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\infty$ , limes od $a_n^{b_n}$ može da bude svašta, pa i da ne postoji.

E, sad, tebi niko ne brani da definišeš neke svoje operacije na nekom skupu za koje će vaćiti drugačiji zakoni i da ih označiš nekim drugim simbolima.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: čudnovat broj e 21.04.2011. u 17:22 · pre 189 meseci #28

Da li je u zagradi binom $\left(1+\frac 1\infty\right)^\infty$ ili nije?

Re: čudnovat broj e 21.04.2011. u 17:28 · pre 189 meseci #29

To bi trebalo da je jednako $(1+0)^{\infty}$ sto je jednako $1$
zato sto je ${1 \over {\infty}}=0$ .

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: čudnovat broj e 21.04.2011. u 19:51 · pre 189 meseci #30

$\left(1+\frac{1}{10^7}\right)^{10^7}\approx 2.71828169254496627119855\text{...}$
Probaj za 10^n , n>100

$1^{\infty }$ jedan kao broj 1. Onda jeste sve to =1.

Ali ako jedna stvar teži kecu, a u isto vreme se to "diže" na beskonacno onda može da bude šta god hoćeš.
Pa se zato kaže da je neodređeno.
U našem "e slučaju" 1+0>1 to je poenta.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: čudnovat broj e 21.04.2011. u 20:02 · pre 189 meseci #31

$(1+\ln x)^{e^{\frac{1}{x-1}}}$
Ovo je direktnom zamenom x=1+ isto $1^{\infty }$

A ustvari je
$\lim_{x\to 1+} (1+\ln x)^{e^{\frac{1}{x-1}}}=\infty$

Može i ovaj
$\lim_{x\to 1} (1+\ln x)^{\frac{1}{x-1}}=e$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: čudnovat broj e 21.04.2011. u 21:09 · pre 189 meseci #32

Ako važi binomni obrazac i kada je jedan od članova jednak nuli onda nije jasno

zašto su članovi tipa

k_n1^{∞ - n}0ⁿ

kojih ima beskonačno mnogo izjednačeni sa nulom kad se vidi da su svi oni proizvodi
od beskonačno i nule što je takođe nedefinisano?
Od beskonačno mnogo članova uzet je samo prvi t.j. 1^∞. Zašto?

Citat:

Ali ako jedna stvar teži kecu, a u isto vreme se to "diže" na beskonacno onda
može da bude šta god hoćeš. Pa se zato kaže da je neodređeno.

Ne bi trebalo da je tako jer se uvek zna koja je to stvar i kako teži ka kecu.

Citat:

U našem "e slučaju" 1+0>1 to je poenta.

Ako je tako onda je 1/∞ > 0 odnosno 1/∞ nije nula, ali Nedeljko kaže da jeste.

Re: čudnovat broj e 21.04.2011. u 21:48 · pre 189 meseci #33

1/∞ teŽi nuli

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: čudnovat broj e 21.04.2011. u 23:40 · pre 189 meseci #34

$\left(1+\frac x n\right)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}1^{n-k}\left(\frac x n\right)^k=\sum_{k=0}^n \frac {n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}\left(\frac x n\right)^k=$

$=1+n\frac x n+\frac {n(n-1)} {2!}\frac {x^2} {n^2}+\frac {n(n-1)(n-2)} {3!}\frac {x^3} {n^3}+ ... +\frac {x^n}{n^n}=$

$=1+\frac x {1!}+\frac {x^2}{2!}\left(1-\frac 1 n\right)+\frac {x^3}{3!}\left(1-\frac 1 n\right)\left(1-\frac 2 n\right)+ .. +\frac {x^n}{n!}\left(1-\frac 1 n\right)\left(1-\frac 2 n\right) ... \left(1-\frac {n-2} n\right)\left(1-\frac {n-1} n\right)=$

$=1+\frac x {1!}+\frac {x^2}{2!}\left(1-\frac 1 n\right)+\frac {x^3}{3!}\left(1-\frac 1 n\right)\left(1-2\frac 1 n\right)+ ... +\frac {x^n}{n!}\left(1-\frac 1 n\right)\left(1-2\frac 1 n\right) ... \left(1-(n-2)\frac 1 n\right)\left(1-(n-1)\frac 1 n\right)$

Ako se uzme da je (1/n)==0, tada

$\left(1+\frac x n\right)^n=1+\frac x {1!}+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+ ... +\frac {x^n}{n!}$

Ako je x=0 tada je zbir sa desne strane = 1, kao da se u zagradama stepenuje jedinica.

Ako je x>0 tada je zbir sa desne strane > 1, u zagradama se stepenuje izraz > 1.

Ako je x < 0 tada je zbir sa desne strane manji od 1, u zagradama se stepenuje izraz < 1.

2:1 za one koji tvrde da je rezultat različit od 1. :)

1

Re: čudnovat broj e 22.04.2011. u 02:26 · pre 189 meseci #35

@atelago

Savetujem ti da naučiš realne brojeve.

Citat:

kandorus:Ako se uzme da je (1/n)==0, tada

Xa, xa, xa!

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: čudnovat broj e 22.04.2011. u 07:34 · pre 189 meseci #36

Šta, ne verujete? Probajte:

Code:
#include <math.h>

void main( void )
{
    double n = 1.7E308;
    double y;

    y = pow( 1+1/n, n );
    printf( "\%lf", y );
}

Dobićete čistu jedinicu!

Re: čudnovat broj e 22.04.2011. u 13:09 · pre 189 meseci #37

Da dobicemo, ali to nije matematika.
Matematika se ne dokazuje programiranjem.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: čudnovat broj e 22.04.2011. u 14:18 · pre 189 meseci #38

Prvo, ne dokazujem ništa. Samo sam pokazao kako neko rezonuje. Na primer tvorci C-a.

Drugo, mislim da su računari korišćeni pri dokazivanju nekih teorema i to nedavno, ali sad ne mogu tačno da citiram o čemu je reč.

Re: čudnovat broj e 22.04.2011. u 15:04 · pre 189 meseci #39

To samo pokazuje nesavršenost pokretnog zareza i to nema veze sa C-om, već sa fundamentalnom nemogućnošću da se u računaru predstavi svih beskonačno mnogo decimala realnog broja. U ovom slučaju je u principu bilo moguće koristiti tačno predstavljanje racionalnih brojeva (u obliku para brojilac, imenilac), ali bi bilo nepraktično jer bi brojilac i imenilac zahtevali veliki (mada konačan) memorijski prostor kakav je bar u nekoj doglednoj budućnosti neostvariv.

Računari se zaista koriste za dokazivanje teorema, ali ne tako kako si zamislio. Jedan od najstarijih ozbiljnih primera je problem četiri boje. Dokazana je teoreme po kojoj se svaki planaran graf može obojiti u četiri boje. Ljudi su najpre dokazali da se opšti slučaj svodi na izvestan konačan podslučaj. Naime, ako je svaki graf iz tačno određenog konačnog skupa planarnih grafova može obojiti sa četiri boje, onda se svaki planaran graf može obojiti u četiri boje. Zadatak računara je bio da grafove iz tog konačnog skupa oboji u četiri boje.

Naravno, upotreba računara je na tom polju odmakla mnogo od onda.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: čudnovat broj e 22.04.2011. u 15:05 · pre 189 meseci #40

Citat:

kandorus: Prvo, ne dokazujem ništa. Samo sam pokazao kako neko rezonuje. Na primer tvorci C-a.

Drugo, mislim da su računari korišćeni pri dokazivanju nekih teorema i to nedavno, ali sad ne mogu tačno da citiram o čemu je reč.

Znam da se računari koriste i za nalaženje nula zeta f-je, i za dokazivanje (npr. Four color theorem). Ali to sa C-om je drugo.
Računari korišćeni pri dokazivanju nekih teorema koriste "dobre" algoritme.
pow je "dobar" ali ne zna limese, što nije njegov posao.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme