čudnovat broj e

čudnovat broj e 12.04.2011. u 18:47 · pre 189 meseci #1

Kad sam ja išla u gimnaziju i kad nam je profesor iz matematike objašnjavao broj e
on je rekao da bi taj broj bio dobar za štediše. Ne sećam se baš tog objašnjenja, ali
čini mi se da je nešto rekao kao u smislu da se kamate odmah pretvaraju u glavnicu
ili tako nešto i još je nešto objašnjavao kako biljke rastu prema tom broju.
Zbog toga mi je taj broj zanimljiv, o to davno objašnjenje mog profesora nisam baš ni
onda razumela, a ne razumem ni sada pa ako bi neko hteo da mi to malo pojasni...
ali po mogućnosti bez puno formula nego onako nekako... bližim rečima.

Ako je e = (1 + 1/n)n kada je n = ∞ onda bi trebalo da bude e = 1 a ne 2,71828...
jer je 1/∞ = 0.

Ovo mi nikako ne ide u glavu pa bih zamolila pre svega Nedeljka, pa onda kandorusa
a i Gosta da mi objasne o čemu se tu radi i kako to oni shvataju.

Re: čudnovat broj e 12.04.2011. u 19:37 · pre 189 meseci #2

Menjanje vrednosti n= $\infty$ i limes ne znače isto.
Kod limesa $1^{\infty }$ je neodređeno.
$e\equiv \lim_{n\to \infty } \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

A što se ekonomije tiče preporučujem
http://poincare.matf.bg.ac.rs/~pavlovic/svetski_por.pdf

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: čudnovat broj e 12.04.2011. u 20:08 · pre 189 meseci #3

Probaj ovo $\left(1+\frac{1}{10^7}\right)^{10^7}\approx 2.71828169254496627119855\text{...}$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: čudnovat broj e 12.04.2011. u 22:15 · pre 189 meseci #4

U prirodi se procesi odvijaju po prirodnim zakonima pa je bolje reći "biljke rastu prema uvis". Nije mi poznato da postoji biljka koja raste prema broju e ali kod biljaka postoje strukture koje se mogu dovesti u vezu sa nekim brojevima. No to je posebna tema.

Ako hoćeš da izračunaš vrednost broja e koristi navedenu formulu. Ta formula kaže da tačna vrednost broje e je rezultat formule kad n postaje sve veće, toliko veliko da je veće od bilo kog broja. To je problem jer računanje je moguće samo do neke veličine broje a onda ili prekidamo ili "više nemamo papira" pa opet prekidamo.

Medjutim približnu vrednost možemo izračunati koristeći upravo tu formulu. Koliko tačno hoćemo da izračunamo vrednost broja e toliko velik broj uzimamo.

n=1
e ≈ e(1) = (1+1/1)^1 = 2

I to je već približno jer je e=2.71828182...

Da bi smo dobili tačniju vrednost broja e uzmemo

n=2
e≈(1+1/2)^2 = 1.5^2 = 2.25

Kao što se vidi povećanjem n nismo smanjili dobijenu vrednost nego smo je povećali. To znači da ta formula ne mora nužno da rezultira u (1+0)^n=1 jer u stvari povećanjem n vrednost dobijena formulom raste.

n=3
e≈(1+1/3)^3 = 1.3333...^3 ≈ 2.37037037

n=4
e≈(1+1/4)^4 ≈ 2.44140625

Dakle, što veće n to smo bliže broju e.

Još se postavlja problem, kako znamo da vrednost dobijena za bilo koje n nije veća od vrednosti broja e?

Pokazaćemo nešto lakše: da vrednost broja e sigurno nije veća od recimo 3.

Broj e se može izračunati i po formuli:

e = 1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ... + 1/k! + ...

gde je k! = 1 * 2 * ... * k.

Za proizvoljno veliko n>2 važi (proveri)

e(n) = 1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ... + 1/n! < 1 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^(n-1) =
= 1 + (1 – 1/2^n)/(1 – 1/2) = 1 + 2(1 – 1/2^n) < 3

jer je (1 – 1/2^n) < 1 pa je 2(1 – 1/2^n) < 2 itd. Zaključujemo da je vrednost broja e negde izmedju 2 i 3.

Postoje mnoge primene broja e. Na primer u biologiji se može koristiti da se izračuna broj ćelija po formuli

N(t)=N(0)*e^(w*t)

gde je

N(0) - broj ćelija u početnom momentu
N(t)- broj ćelija nakon vremena t.
w - odredjuje brzinu rasta.

U fizici i hemiji kod radikalskih reakcija itd.

Kakve veze ima broj e i obračun kamatne stope? Pretpostavimo da se kamata obračunava na glavnicu od 1 dinar u iznosu 100% na kraju godine. Tada se ukupno plaća 2=e(1) dinara. Ako se kamata obračunava dva puta godišnje tada se ukupno plaća 1*1.5^2=e(2)=2.25 dinara. Ako se kamata obračunava 4 puta godišnje tada se ukupno plaća 1*1.25^4 = e(4) = (1+1/4)^4 ≈ 2.44140625, itd.

Re: čudnovat broj e 12.04.2011. u 22:33 · pre 189 meseci #5

Da nema broja e mnoge diferencijalne jednačine ne bi bile rešive.
To je zbog sledećeg:

$\left(e^x\right)'=e^x, \left(e^x\right)''=e^x, \text{...}, \left(e^x\right)^{(n)}=e^x$

Npr. difierncijalna jednačina y'''+y''-y'-y=0 ima opšte rešenje $y_o(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{-x} x +c_3e^x$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: čudnovat broj e 12.04.2011. u 23:34 · pre 189 meseci #6

Citat:

fentalijana: Ako je e = (1 + 1/n)n kada je n = ∞ onda bi trebalo da bude e = 1 a ne 2,71828...
jer je 1/∞ = 0.

Ne, $e$ nije $\left(1+\frac 1n\right)^n$ za $n=\infty$ , već je $e=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n$ . Obnovi definiciju limesa.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: čudnovat broj e 13.04.2011. u 08:21 · pre 189 meseci #7

Prekidno kapitalisanje podrazumeva da se kamata pripisuje glavnici kapitala tek posle isteka "obračunskog perioda".
Posle isteka n obračunskih perioda (m je broj obračunskih period u jednoj godini, p kamatna stopa na godišnjem nivou, t proteklo vreme), krajnja vrednost kapitala je:
$Kn=Ko*\left(1+\frac pm\right)^n$
gde je n = m*t

Pošto kapital ima uvećanu vrednost za kamatu i posle isteka 1 sekunde, onda m teži u beskonačnost i rešavanjem limesa, dobija se
krajnja vrednost neprekidnog kapitalisanja posle isteka vremena t:
$Kn=Ko*e^{p*t}$

Znači u pravu je profesor i broj e je stvarno dobar za štediše.
Omogućava im da izračunaju vrednost kapitala u bilo kom trenutku.

Re: čudnovat broj e 17.04.2011. u 11:52 · pre 189 meseci #8

Vi ste se zaista potrudili, ja se zahvaljujem. Čekala sam da i Gost iznese svoje mišljenje,
ali, eto, nije. Zavezo mu se jezik. Pojela maca?
Bilo bi interesantnije jer bi se on, po svoj prilici, usprotivio pa bi diskusija bila mnogo
življa.

Kandorus je imao strpljenja da detaljno objasni broj e, ali mi se čini da nije sasvim u
pravu za biljke zato što se i kod biljaka njihov priraštaj odmah pretvara u veličinu biljke,
a veća biljka opet ima veći priraštaj i t. d. To bi bolje objasnio miki069 jer on kao i ja
“navijamo” za profesora.
Nedeljko me zbunio. Ja nisam baš tolika neznalica da ne znam šta je limes. On kaže da
je broj

$e=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n$

i ja to razumem, ali ne razumem ovo što je napisao da nije e. Ako nije e neka je neki
drugi broj, na primer neka je r pa je

$r$ = $\left(1+\frac 1n\right)^n$ za $n=\infty$

ili ovako:

$r$ = $\left(1+\frac 1\infty \right)^\infty$ za $n=\infty$

Sad ja ne znam kakav je to broj koji nije e, i ne znam šta pretstavlja taj broj i da li je
to uopšte broj. Sme li se tako pisati? Da li je tako napisan broj strogo određen ili nije?

Re: čudnovat broj e 17.04.2011. u 18:25 · pre 189 meseci #9

$\left(1+\frac 1n\right)^n$ za $n=\infty$ se sme pisati kao $\left(1+\frac 1\infty\right)^\infty$ . No, da vidimo koliko to iznosi:

$\left(1+\frac 1\infty\right)^\infty=(1+0)^\infty=1^\infty$ , a to je nedefinisano. Dakle, nema puno veze sa brojem $e$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: čudnovat broj e 17.04.2011. u 20:05 · pre 189 meseci #10

Citat:

fentalijana

Kandorus je imao strpljenja da detaljno objasni broj e, ali mi se čini da nije sasvim u
pravu za biljke zato što se i kod biljaka njihov priraštaj odmah pretvara u veličinu biljke

Naveo sam da se broj e može povezati sa brojem ćeliija (a time i sa masom biljke). No to ne znači da broj e odredjuje kako će biljka rasti.

Rast biljke odredjuju prirodni faktori - vlažnost, temperaturura, zemljište, itd, itd. Na primer, ako nema dovoljno vlage da transportuje minerale iz korena u stablo džaba broj e, biljka staje s rastom.

Re: čudnovat broj e 18.04.2011. u 00:33 · pre 189 meseci #11

Kada niko nije znao za broj e,a znali su šta je to eksponencijalna funkcija,neko je otkrio da za te funkcije vrijedi jedno interesantno pravilo:-Povucimo u bilo kojoj tački grafa takve funkcije tangentu i pogledamo gdje siječe x osu.Udaljenost ove tačke od vrijednosti x odabrane ordinate je uvijek ista.Ispada da je tangens ugla tangente proporcionalan sa vrijednosti funkcije.Dakle sadašnjim riječnikom rečeno prvi izvod je proporcionalan samoj funkciji.Neko se sjetio da ispita kad je taj koeficijent proporcionalnosti jednak 1.Za koju vrijednost baze eksponencijalne funkcije je to tako?"e" je jedinična baza eksponencijalnih funkcija.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: čudnovat broj e 18.04.2011. u 11:25 · pre 189 meseci #12

Kako izračunati približnu vrednost izaza $2^{\sqrt 3}$ ? Jedan način je da se nađe racionalna aproksimacija $p/q$ broja $\sqrt 3$ i da se onda izračuna $\sqrt[q]2^p$ . Drugi, efikasniji način je preko reda

$2^{\sqrt 3}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\sqrt 3\ln 2)^n}{n!}$ .

Međutim, za to nam treba konstanta $\ln 2$ . Ona se može računati po formuli

$\ln x=2t\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{2n+1}$ za $t=\frac{x-1}{x+1}$ .

Eto kako se od proizvoljne osnove dolazi do osnove $e$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: čudnovat broj e 18.04.2011. u 11:47 · pre 189 meseci #13

Da li bi hteo da nam pokažeš kako si došao do jednakosti

$2^{\sqrt 3}=\sum_{n=0}^\infty\frac{\sqrt 3\ln 2}{n!}$ ?

Re: čudnovat broj e 18.04.2011. u 12:00 · pre 189 meseci #14

Za $a>0$ važi

$a^b=e^{\ln a^b}=e^{b\ln a}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: čudnovat broj e 18.04.2011. u 13:05 · pre 189 meseci #15

$\sum_{n=0}^\infty\frac{\sqrt 3\ln 2}{n!}=e{\sqrt 3\ln 2}\neq 2^{\sqrt 3}$

$2^{\sqrt 3}=e^{\sqrt 3\ln 2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\sqrt 3\ln 2)^n}{n!}$

Re: čudnovat broj e 18.04.2011. u 14:00 · pre 189 meseci #16

Hvala, ispravljeno.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: čudnovat broj e 18.04.2011. u 19:46 · pre 189 meseci #17

Vazi li ova jednakost?

$_{n\to\infty} \left( 1 + \frac kn \right) ^n = e^k$

Re: čudnovat broj e 18.04.2011. u 23:15 · pre 189 meseci #18

Citat:

kandorus: Da li bi hteo da nam pokažeš kako si došao do jednakosti

$2^{\sqrt 3}=\sum_{n=0}^\infty\frac{\sqrt 3\ln 2}{n!}$ ?

Razvij $a^x$ u Tejlorov red.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: čudnovat broj e 19.04.2011. u 00:48 · pre 189 meseci #19

Ne znam št6a hoćeš da kažeš. To smo već razjasnili.

Re: čudnovat broj e 19.04.2011. u 09:34 · pre 189 meseci #20

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac zn\right)^n=e^z$ za svako $z\in C$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme