Pitanje vezano za broj PI....

Pitanje vezano za broj PI.... 26.03.2011. u 21:41 · pre 189 meseci #1

Broj $\pi$ se kao sto znamo definise kao odnos obima i precnika kruga
takodje je i transcedentan broj ali mene interesuje kako broj $\pi$ ne moze
biti prikazan kao razlomak jer je jednak $\pi={22 \over 7}$ ili gresim.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 26.03.2011. u 21:58 · pre 189 meseci #2

Grešiš. Pi je samo približno jednak 22/7, ako se dobro sećam poklamanje je do treće ili četvrte decimale. Korisno je za brze proračune kad preciznost nije mnogo bitna...

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 27.03.2011. u 16:28 · pre 189 meseci #3

22/7=3.14285..... dok je Pi=3,1415926.... znači tacne su samo 2 decimale.
Pored toga sto je transcedentan on je i iracionalan (dokazano) tako da sigurno nije neki razlomak.
Broj pi se racuna preko redova najefikasnije (može i preko beskonačnih proizvoda).
http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html
Evo jedna lepa aproksimacija gde ima i 22 a poklapa se 8 decimala.
$\sqrt[4]{\frac{2143}{22}}$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 27.03.2011. u 20:32 · pre 189 meseci #4

Sta znaci "transcendentan"?

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 27.03.2011. u 21:34 · pre 189 meseci #5

Znaci da ne postoji jednacina sa racionalnim koeficijentima cija je jedna nula $\pi$

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 27.03.2011. u 21:38 · pre 189 meseci #6

Citat:

Gost: Sta znaci "transcendentan"?

Citat:

Pi je iracionalan broj, što znači da se njegova vrednost ne može izraziti preko razlomaka. Zbog toga njegov decimalni zapis nema kraja i nije periodičan. Pi je takođe transcendentan broj, što znači da ga nije moguće izraziti korišćenjem konačnog broja celih brojeva uz četiri osnovne računske operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje) i korenovanja.

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 27.03.2011. u 22:09 · pre 189 meseci #7

Ne, to nije definicija transcedentnog broja. Transcedentan broj je onaj koji nije algebarski, to jest, nije koren nijednog nekonstantnog polinoma sa celim (odnosno racionalnim) koeficijentima.

Rešenja algebarskih jednačina do četvrtog stepena se zaista mogu izraziti preko koeficijenata jednačine, celih brojeva, operacija sabiranja, oduzimanja, množenja, delenja i korenovanja proizvoljnog stepena, ali kod jednačina petog i višeg stepena to uopštem slučaju nije slučaj.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 28.03.2011. u 20:47 · pre 189 meseci #8

Ako gledamo decimalni zapis broja PI onda je taj zapis sve tačniji sa povećanjem broja cifara, ali se iz tih
zapisa ne može zaključiti kako tako upisane vrednosti konvergiraju prema graničnoj vrednosti. Ili grešim?

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 28.03.2011. u 23:45 · pre 189 meseci #9

Šta znači "tačniji" zapis?

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 28.03.2011. u 23:51 · pre 189 meseci #10

Tacno je da je sa povećanjem broja decimala (tačnih) i broj pi tačniji.
Ali gledanjem u decimale možeš samo da gledaš.

pogledajmo ovo:
$f(x)=\text{arctg}(x)$

Prvi izvod od f je
$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$

sada se f' može predstaviti stepenim redom

$f'(x)=\sum _{n=0}^{\infty } \left(-x^2\right)^n=\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^nx^{2n}$
Za $| x | < 1$
Sada se treba vratiti iz f' u f
$\int _0^xf'(x)\text{dx}=\int _0^x\left(\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^nx^{2n}\right)\text{dx}=\sum _{n=0}^{\infty } (-1)^n\int _0^xx^{2n}\text{dx}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}$
$|x|\leq 1$
$\int _0^xf'(x)\text{dx}=f(x)-f(0)=f(x)$
Konačno
$\text{arctg}(x)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1},|x|\leq 1$

Neko se setio da je arctg(1)=Pi/4 :)

$\frac{\pi }{4}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\text{...}+\frac{(-1)^n}{2n+1}$
Ali ovo užasno sporo konvergira ka Pi pa je ovakvo računanje broja Pi totalno neefikasno.
Mnogi su pravili modifikacije ovog reda (poznat kao Gregori-Lajbnicov), Gauss, Ojler, Machin...
John Machin je "našao" sledeću vezu (može se izvesti korišćenjem f-le $\tan (2 \alpha )=\frac{2\tan ( \alpha )}{1-\tan ^2(\alpha )}$ )
$\frac{\pi }{4}=4 \text{arctg}\left(\frac{1}{5}\right)-\text{arctg}\left(\frac{1}{239}\right)$
Odnosno
$\frac{\pi }{4}=4 \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{(2n+1)5^{2n+1}}-\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{(2n+1)239^{2n+1}}$
Suma prvih 10 članova ovih gore redova daje Pi sa 16 tačnih decimala što je jako brzo.

$\pi \approx 4\left(4 \sum _{n=0}^{10} \frac{(-1)^n}{(2n+1)5^{2n+1}}-\sum _{n=0}^{10} \frac{(-1)^n}{(2n+1)239^{2n+1}}\right)\approx 3.1415926535897932(947473.....$

Za prvih sto članova greska je 9x10^(-144)

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 29.03.2011. u 09:47 · pre 189 meseci #11

Citat:

Gost: Ako gledamo decimalni zapis broja PI onda je taj zapis sve tačniji sa povećanjem broja cifara, ali se iz tih
zapisa ne može zaključiti kako tako upisane vrednosti konvergiraju prema graničnoj vrednosti. Ili grešim?

Šta to znači "kako konvergiraju"? Znam za dve osnovne vrste konvergencije brojnih redova - običnu i apsolutnu, kao i za još neke opštije izvedene iz Teplicove teoreme. Na šta si zapravo mislio?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 29.03.2011. u 10:21 · pre 189 meseci #12

Citat:

Nedeljko... Na šta si zapravo mislio?

Mislio sam na zakonitost konvergencije ako uzmeš nekoliko uzastopnih vrednosti u decimalnom zapisu.

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 29.03.2011. u 13:17 · pre 189 meseci #13

Misliš na brzinu konvergencije, tj. procenu ostatka? Da, to se ne utvrđuje posmatranjem prvih nekoliko članova niza, ali se može izračunati na osnovu opšteg člana.

Evo, recimo, za $|x|<1$ je

$\arctan(x)=x-\frac{x^3}3+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+r_n$ , gde je $|r_n|<\frac{|x|^{2n+1}}{2n+1}$ .

To je posledica činjenice da članovi razvoja arkustangensa naizmenično menjaju znak i da je po apsolutnoj vrednosti svaki sledeći manji od prethodnog.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 29.03.2011. u 19:04 · pre 189 meseci #14

@Gost

Misliš kao što je 1/7=0.14285714285714285714.... pa se "ekipa" 142857 ponavlja, da i u Pi ima neka logika ponavljanja neki "patern"?
Da li je to "konvergencija decimala"?
Ako jeste onda Pi nije "konvergentan u tvom smislu". :)
Jer je Pi iracionalan.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 29.03.2011. u 20:33 · pre 189 meseci #15

Citat:

SrdjanR271:

Misliš kao što je 1/7=0.14285714285714285714...

Ne mislim da je tako jer znam da Pi nije razlomak nego, na primer, ovako: Pi/4 = 1 - 2(1/(3x5) + 1/(7x9) + 1/(11x13) + ...)

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 30.03.2011. u 00:55 · pre 189 meseci #16

Tačno je da je $1-2\sum _{n=1}^{\infty } \left\frac{1}{\left16 n^2-1\right}\right=\frac{\pi }{4}$ to je sve sto mogu reći.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 30.03.2011. u 07:43 · pre 189 meseci #17

@Gost

Hteo si da pitaš da li neki red konvergiira ka pi? Pa, to se dokazuje. Ne može na osnovu prvih nekoliko članova.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 30.03.2011. u 10:53 · pre 189 meseci #18

Citat:

Nedeljko: @Gost

Hteo si da pitaš da li neki red konvergiira ka pi?

Nisam. To je bio samo odgovor Srdjanu. Ustvari pitao sam kako neki niz u decimalnom zapisu konvergira ka pi.

Čudna a i jako interesantna stvar je u tome što sa brojevima u decimalnom zapisu na brojnoj pravoj nikako ne
mozemo "pogoditi" to mesto gde se nalazi broj pi.

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 30.03.2011. u 11:55 · pre 189 meseci #19

Sad mi uopšte više nije jasno šta si hteo da pitaš.

Šta ti je pre svega broj u decimalnom zapisu? Je li to broj sa konačnim dekadnim zapisom ili dozvoljavaš i beskonačne? Broj pi, kao i svaki realan broj ima dekadni zapis (koji je u slučaju broja pi beskonačan).

Drugo, da li znaš definiciju konvergencije?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pitanje vezano za broj PI.... 30.03.2011. u 11:57 · pre 189 meseci #20

Uzgred, do sada je izračunato 5,000,000,000,000 (5x10¹²) cifara broja pi. To je trenutni svetski rekord.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme