Cauchy-jev račun ostatka, procena vrednosti integrala

Odgovori Nova tema

3 odgovora
4.529 pregleda

Cauchy-jev račun ostatka, procena vrednosti integrala 13.03.2011. u 17:38 · pre 190 meseci #1

Zadatak glasi:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \! {e^{2imx} \over (x^2 + 4)^2} {dx}, m \in R$

Integralim po konturi $\Gamma = \gamma_R \cup l$ , gde je:

$\gamma_R: z=z(t)=Re^{it}, R>2, t \in [0, \pi]$
$l: z=z(t)=t, t \in [-R, R]$

Sve je jasno, izračunam ostatak u polu $z=2i$ , na osnovu toga integral po konturi $\Gamma$ , i pustim da R teži beskonačnosti, da bih dobio traženi integral. Problem mi je jednio procena integrala po konturi $\gamma_R$ . Za $m \ge 0$ je lako, ali za $m < 0$ nisam siguran da li taj integral divergira, ili se nekako može proceniti i ograničiti?

Re: Cauchy-jev račun ostatka, procena vrednosti integrala 13.03.2011. u 18:16 · pre 190 meseci #2

Nema razlike između slučajeva $m>0$ i $m<0$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Cauchy-jev račun ostatka, procena vrednosti integrala 13.03.2011. u 18:49 · pre 190 meseci #3

Ako bi mogao malo da mi pojasniš zašto, ja ne uspevam da vidim, ne znam šta mi promiče...?

Integral po konturi $\gamma_R$ glasi:

$I_R = \int\limits_{0}^{\pi} \! {e^{2imRe^{it}} iRe^{it} \over (R^2 e^{2it} + 4)^2} {dt}$

Ovo procenjujem na sledeći način:

$|I_R| \le R \int\limits_{0}^{\pi} \! | {e^{2imRe^{it}} e^{it} \over (R^2 e^{2it} + 4)^2} | {dt}$

$|e^{2miRe^{it}} e^{it}| = |e^{2miR(cos(t) + i sin(t))}| = |e^{-2mRsin(t)}|$ .... (1)

$|(R^2e^{2it} + 4)^2| \ge (R^2 - 4)^2$ .... (2)

Za $m \ge 0$ (1) može da se ograniči jedinicom, pa onda ceo integral teži nuli kad R teži beskonačnosti. Kako mi se čini, ova procena ne važi kad je $m < 0$ ...?

Drugi način procene je Jordanova lema, ali se i tu zahteva da m bude pozitivna konstanta...

Re: Cauchy-jev račun ostatka, procena vrednosti integrala 13.03.2011. u 23:57 · pre 190 meseci #4

$I(m)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{2mxi}}{(x^2+4)^2}\,dx,$ ,

$\overline{I(m)}=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-2mxi}}{(x^2+4)^2}\,dx=I(-m)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme