Furijeovi brojevi i beselova nejednakost

Furijeovi brojevi i beselova nejednakost 27.02.2011. u 19:43 · pre 190 meseci #1

Posto nisam nasao nigde na netu, reko aj da pitam i ovde.
Da li neko zna da mi objasni sta su furijeovi brojevi,
i sta je to beselova nejednakost?
Stvarno mi mnogo treba a nikako nigde ne mogu naci.. :(

Re: Furijeovi brojevi i beselova nejednakost 27.02.2011. u 20:30 · pre 190 meseci #2

Furijeovi brojevi bi trebalo da budu Furijeovi koeficijenti pretpostavljam?

Beselova nejednakost ti je

$\sum^{\infty}_{\nu=1}|(x_{i_{\nu}},x)|^2<||x||^2$

gde su $x_i_{1},x_i_{2}...$ elementi ortonormiranog sistema $\{x_i\}$ za koje su koeficijenti nekog elementa $x\in X$ razliciti od nule.

$X$ ti je unitarni prostor, tj. prostor u kojem je definisan skalarni proizvod, a $(\cdot,\cdot)$ je oznaka koju sam koristio za skalarni proizvod u datom zapisu.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Furijeovi brojevi i beselova nejednakost 27.02.2011. u 21:28 · pre 190 meseci #3

Aham znaci ako sam nekako shvatio, to je skup skalarnih proizvoda elemenata ortonormiranog sistema?

Da na furijeove koeficijente sam mislio?
Dal mi mozes nesto reci sta su oni i cemu sluze? :)

Re: Furijeovi brojevi i beselova nejednakost 27.02.2011. u 23:10 · pre 190 meseci #4

Odredjivanje koeficienata a0,an,bn uslovljeni su razvojem funkcije u furijeov red ,tj.
razvoj funkcije u furijeov red svodi se na odredjivanje koeficienata a0,an,bn.Dok se
za odredjivanje furijeovih koeficienata koristi osobina ortogonalnosti funkcije cosx,cos2x
sinx,sin2x.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Furijeovi brojevi i beselova nejednakost 28.02.2011. u 01:12 · pre 190 meseci #5

Citat:

kakosuper: Da na furijeove koeficijente sam mislio?
Dal mi mozes nesto reci sta su oni i cemu sluze? :)

U elektrotehnici mnogi od signala su periodični. (Tocnije priblizno periodicni.)
Periodičan signal može sadržavati samo jednu frekvenciju. Tada je to sinusni signal. Neki to zovu i kosinusni signal, ali cinjenica da je u pitanju jedna frekvencija nece se time promijeniti. Fazni pomak signala privremeno recimo da nije bitan.

Signal koji sadrži samo jednu frekvenciju postoji samo u matematici. U elektrotehnici uvijek su u signalu prisutne i druge frekvencije.
Kada su druge frekvencije zanemarive amplitude tj. pripadni Fourierov koeficijent zanemarivo malen kazemo da je u pitanju cisti sinusni signal.
Kada druge frekvencije nisu zanemarive amplitude ... e ponekad se kaže da je signal izobličen, jer tada ga uspoređujemo s čistim sinusnim.
Frekvencije se nazivaju harmonici. Izobličenja koja spomenuh nazivaju se harmonička.
Iznos Fourierovih koeficijenata dakle govori o količini izobličenja ili tocnije o razlici promatranog periodickog signala i nekog drugog referentnog periodickog signala.

Naravno, Fourierovi koeficijenti imaju upotrebu i izvan elektrotehnike ...

Odlicna stranica s primjerima utjecaja promjene amplitude harmonika na valni oblik signala:
http://www.falstad.com/mathphysics.html

Potpis

nastava.tvz.hr/~zstojanovic

1

Re: Furijeovi brojevi i beselova nejednakost 28.02.2011. u 11:06 · pre 190 meseci #6

Neka je $X$ neprazan skup (zvaćemo ga skupom vektora) i neka je data binarna operacija $+$ nad elementima tog skupa, koja ima uobičajene osobine, kao npr. sabiranje realnih brojeva. Recimo, postoji neuralni element i svakom elementu postoji suprotan, tako da elementa u zbiru sa svojim suprotnim elementom daje neutralni element i neka važe zakoni $(u+v)+w=u+(v+w)$ i $u+v= v+u$ . Preciznije, pretpostavlja se da za elemente tog skupa važe sledeći zakoni:

$(u+v)+w=u+(v+w)$ ,
$u+v= v+u$ ,
$u+O=O+u=u$ ,
$u+(-u)=(-u)+u=O$ ,

gde smo sa $O$ označili neutralni element (koji uzgred pripada skupu $X$ ), a sa $-u$ suprorotan element od elementa $u$ . Neka je data i operacija množenje vektora realnim (odnosno kompleksnim) brojevima tako da ako brojeve označimo grčkim, a vektore latiničnim slovima, važe sledeći zakoni

$1u=u$ ,
$\lambda(\mu u)=(\lambda\mu)u$ ,
$(\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u$ ,
$\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v$ .

Tada kažemo da je skup $X$ snabdeven ovim operacijama realan (odnosno kompleksan) vektorski prostor.

Ako je pritom data jedna binarna operacija $\langle\cdot,\cdot\rangle$ koja parovima vektora pridružuje realne (odnosno kompleksne) brojeve (koje zovemo i skalarima) tako da su ispunjeni sledeći uslovi:

$\langle u,u\rangle\geq 0$ (dakle, $\langle u,u\rangle$ mora biti realan nenegativan broj, čak i ako smo uzeli kompleksne brojeve kao skalare).
Ako je $\langle u,u\rangle=0$ , onda je $u=O$ .
$\langle u,v\rangle=\overline\langle v,u\rangle$ ("nadvučeno" je ovde oznaka za kompleksni konjugat. U realnom slučaju se to naravno svodi na $\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle). \langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle$ ,
$\langle\lambda u,v\rangle=\lambda\langle u,v\rangle$ .

Za $(u+v)+w=u+(v+w)$ i $u+v= v+u$

Tada takvu operaciju zovemo skalarnim proizvodom.

Za vektore se kaže da su ortogonalni ako im je skalarni proizvod jednak nuli. Ako je $Y\sunbset X$ sistem uzajamno ortogonalnih vektora, među kojima se ne nalazi $O$ i $x$ bilo koji vektor, se za broj $\frac{\langle x,y}{\langle y,y\rangle}$ kaže da je Furijeov koeficijent vektora $x$ po vektoru $y\in Y$ , a za formalan red $\sum_{y\in Y}\frac{\langle x,y}{\langle y,y\rangle}y$ da je Furijeov red vektora $x$ po sistemu $Y$ .

U svakom slučaju, $\langle x,y\rangle\neq 0$ za najviše prebrojivo mnogo $y\in Y$ i pritom je $\sum_{y\in Y}\frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\langle y,y\rangle}\leq\langle x,x\rangle$ . To je Beselova nejednakost. Pritom jednakost važi za sve moguće vektore $x\in X$ ako i samo ako je $Y$ maksimalan ortogonalan podskup od $X$ (koji ne uključuje $O$ ).

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme