Granica funkcije sa sinusom...

Granica funkcije sa sinusom... 17.02.2011. u 22:09 · pre 191 mesec #1

Imam jedan zadatak za koji zanm da je konacno resenje nula, ali nisam sigurna kako da ga resim ( ne treba koristiti Lopitalovo pravilo)...
Zadatak glasi
$\lim_{x \to \infty } ( { { \sin { \sqrt { x+1 } } - { \sin { \sqrt{ x } } } )$
Mene ovde buni ovo sto x-> ${ \infty }$ .
Probala sam da dobijem $\lim_{x \to \infty} { {\sin x} \over x } = 0$

$\lim_{x \to \infty } ( \frac { \sin { \sqrt { x+1 } } } {\sqrt { x+1 } } {\sqrt { x+1 } } - \frac { \sin { \sqrt { x } } } {\sqrt { x } } {\sqrt { x } })$
E sad mi je nekako previse ocigledno da izvedem zakljucak da posto
$\lim_{x \to \infty } ( \frac { \sin { \sqrt { x+1 } } } {\sqrt { x+1 } }$ -> 0 i $\frac { \sin { \sqrt { x } } } {\sqrt { x } }$ -> 0, onda se dobija
$\lim_{x \to \infty } ( { { 0{ \sqrt { x+1 } } - {0{ \sqrt{ x } } } )=0$
Dali je ovo dobro uradjeno, i ako nije, gde gresim?
Hvala unapred!

Re: Granica funkcije sa sinusom... 17.02.2011. u 23:30 · pre 191 mesec #2

$\text{Sin}[x]-\text{Sin}[y]=2 \text{Cos}\left[\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right] \text{Sin}\left[\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\right]$

$\text{Sin}\left[\sqrt{1+x}\right]-\text{Sin}\left[\sqrt{x}\right]\text{==}2 \text{Cos}\left[\frac{1}{2} \left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)\right] \text{Sin}\left[\frac{1}{2} \left(\sqrt{1+x}-\sqrt{x}\right)\right]$

$\lim_{x\to \infty } \text{Sin}\left[\sqrt{1+x}\right]-\text{Sin}\left[\sqrt{x}\right]\text{==}\lim_{x\to \infty } 2 \text{Cos}\left[\frac{1}{2} \left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)\right] \text{Sin}\left[\frac{1}{2} \left(\sqrt{1+x}-\sqrt{x}\right)\right]$

$2\text{Cos}\left[\frac{1}{2}\lim_{x\to \infty } \left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)\right]\text{Sin}\left[\frac{1}{2}\lim_{x\to \infty } \left(\sqrt{1+x}-\sqrt{x}\right)\right]$

$2\text{Cos}[\infty ]\text{Sin}\left[\frac{1}{2}\lim_{x\to \infty } \left(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right)\right]$
$2 (-1, 1) Sin (0) = 0$
Cos(beskonacno) je interval (-1,1)

Nisam siguran da moze tako, zadnji korak ti nije dobar

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Granica funkcije sa sinusom... 17.02.2011. u 23:40 · pre 191 mesec #3

Pa ne moze, zato sto ti mnozis te sinuse sa necim sto je oblika $\frac{\infty}{\infty}$ . Od pocetka ne moze tako.

Re: Granica funkcije sa sinusom... 18.02.2011. u 13:35 · pre 191 mesec #4

Pa moze ovako

$|sin\sqrt{x+1}-sin\sqrt{x}|=|2sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}|\leq 2|sin\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}|\leq$

$<\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}<\frac{1}{2\sqrt{x}}$

A $\lim_{x\to \infty}\frac{1}{2\sqrt{x}}=0$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Granica funkcije sa sinusom... 18.02.2011. u 14:06 · pre 191 mesec #5

Hvala vam, ni sama ne znam kako mi nije palo na pamet da iskoristim formulu, koju inace znam i cesto koristim...

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme