Kako se radi ovaj zadatak?

Kako se radi ovaj zadatak? 04.12.2010. u 00:07 · pre 194 meseca #1

Zna li neko kako se radi zadatak na slici, znam da je resenje -1/4, ali kako do toga doci na sto laksi nacin (cuo sam da moze na vise nacina), slabo se razumem u tu oblast, pa ako neko ume neka pokaze?

Hvala!

zad..JPG4.18k

Re: Kako se radi ovaj zadatak? 04.12.2010. u 01:28 · pre 194 meseca #2

Izvinjavam se postavljaču teme što dodajem pitanje, ali vezano je za zadatak...

Krenuo sam da rešavam ovaj zadatak, težeći da ga rešim na što jednostavniji način i nisam dobio taj rezultat, ali siguran sam da imam grešku, jer pravo rešenje jeste -1/4.

Ideja mi je bila da uvedem smenu $t=\frac{1}{x}$ , sto znaci da je $x=\frac{1}{t}$ .

Traži se $\lim_{x \to \infty}{x (\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x} -2x)}$

Pošto $x \to +\infty$ onda $t \to 0$ .

Onda se limes svodi na:
$\lim_{t \to 0}{\frac{1}{t} \cdot(\sqrt{{\frac{1}{t^2}} + \frac{1}{t}} + \sqrt{{\frac{1}{t^2}} - \frac{1}{t}} -2\frac{1}{t})}$
$\lim_{t \to 0}{\frac{1}{t} \cdot (\frac{\sqrt{t+1}}{|t|} + \frac{\sqrt{1-t}}{|t|} - \frac{2}{t})}$

Zbog apsolutne vrednosti nalazimo levi i desni limes i oni su plus i minus beskonačno. To se naravno ne poklapa sa tačnim rešenjem.

Gde sam pogrešio?

Re: Kako se radi ovaj zadatak? 04.12.2010. u 02:04 · pre 194 meseca #3

Sad mi trenutno ne pada nista na pamet, ali uvek mozes da razvijes sve ovo (ili deo po deo) u Tejlorov red oko $\infty$ i dobijes $-\frac{1}{4}-\frac{5}{64x^2}-\frac{21}{512x^4}+O\Bigg{(}\frac{1}{x^6}\Bigg{)}$
Odatle se vidi da je resenje $-\frac{1}{4}$ i to je jedan od mogucih nacina, ali sigurno da postoji neki "normalniji" jer je uzasan posao za "rucni" rad.

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Re: Kako se radi ovaj zadatak? 04.12.2010. u 03:04 · pre 194 meseca #4

Citat:

Fermion:
Zbog apsolutne vrednosti nalazimo levi i desni limes i oni su plus i minus beskonačno.

Nisam siguran da te razumem. U zagradi imaš izraz oblika $\infty-\infty$ , kako si mislio da se s tim izboriš? Ujedno, apsolutna vrednost je nepotrebna, jer $t\to 0^+$ . Tvoja ideja može se nastaviti svođenjem svega na jedan razlomak i dvostrukom primenom L’Opitalovog pravila.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Kako se radi ovaj zadatak? 04.12.2010. u 10:44 · pre 194 meseca #5

Upravo mu je u tome bila greška. $t\rightarrow 0+$ , a ne $t\rightarrow 0$ .

Evo kako može bez Tejlorovog razvoja i Lopitalovog pravila.

$a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}$ ,

$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$ ,

$\sqrt{x^2-x}-x=\frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}$ ,

$\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}-2x=\frac{x}{(\sqrt{x^2+x}+x)(\sqrt{x^2-x}+x)}(\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2+x})$ ,

$\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2+x}=\frac{-2x}{\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x^2+x}}$ .

Na sličan način se i Fermionova ideja mogla nastaviti.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kako se radi ovaj zadatak? 04.12.2010. u 13:30 · pre 194 meseca #6

Citat:

Bojan Basic: Nisam siguran da te razumem. U zagradi imaš izraz oblika $\infty-\infty$ , kako si mislio da se s tim izboriš? Ujedno, apsolutna vrednost je nepotrebna, jer $t\to 0^+$ . Tvoja ideja može se nastaviti svođenjem svega na jedan razlomak i dvostrukom primenom L’Opitalovog pravila.

Tako sam to i zamislio, samo sam tražio i $t\to 0^+$ i $t\to 0^-$ , s tim što je za zadatak bitna samo prva od njih, nisam to naglasio. Međutim ja sam pogrešio u sređivanju koje nisam napisao u poruci i zato sam našao te vrednosti limesa koje ne odgovaraju stvarnoj.

Zaista, ako se postupak nastavi:
$\lim_{t \to 0^+}{\frac{1}{t} \cdot (\frac{\sqrt{t+1}}{|t|} + \frac{\sqrt{1-t}}{|t|} - \frac{2}{t})} = -\frac{1}{4}$
$\lim_{t \to 0^-}{\frac{1}{t} \cdot (\frac{\sqrt{t+1}}{|t|} + \frac{\sqrt{1-t}}{|t|} - \frac{2}{t})} = -\infty$

Naravno, za zadatak je bitna vrednost:
$\lim_{t \to 0^+}{\frac{1}{t} \cdot (\frac{\sqrt{t+1}}{|t|} + \frac{\sqrt{1-t}}{|t|} - \frac{2}{t})} = -\frac{1}{4}$

To je ujedno i tražena vrednost limesa.

Re: Kako se radi ovaj zadatak? 04.12.2010. u 14:09 · pre 194 meseca #7

S tim što nigde nisi obrazložio zašto je

$\lim_{t \to 0^+}{\frac{1}{t} \cdot (\frac{\sqrt{t+1}}{|t|} + \frac{\sqrt{1-t}}{|t|} - \frac{2}{t})} = -\frac{1}{4}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kako se radi ovaj zadatak? 04.12.2010. u 15:11 · pre 194 meseca #8

Citat:

Nedeljko: S tim što nigde nisi obrazložio zašto je

$\lim_{t \to 0^+}{\frac{1}{t} \cdot (\frac{\sqrt{t+1}}{|t|} + \frac{\sqrt{1-t}}{|t|} - \frac{2}{t})} = -\frac{1}{4}$ .

$\lim_{t \to 0^+}{\frac{1}{t} \cdot (\frac{\sqrt{t+1}}{|t|} + \frac{\sqrt{1-t}}{|t|} - \frac{2}{t})}$ .

Ovo se može svesti na oblik:
$\lim_{t \to 0^+}{\frac{1}{t} \cdot (\frac{\sqrt{t+1}}{t} + \frac{\sqrt{1-t}}{t} - \frac{2}{t})}$ .
$\lim_{t \to 0^+}{\frac{\sqrt{t+1} + {\sqrt{1-t}}-2}{t^2})}$

Ovo je neodređenost oblika $\frac{0}{0}$ pa se moze primeniti Lopitalovo pravilo.
$\lim_{t \to 0^+}{\frac{\sqrt{t+1} + {\sqrt{1-t}}-2}{t^2})}=\lim_{t \to 0^+}{\frac{(\sqrt{t+1} + {\sqrt{1-t}}-2)'}{(t^2)'})}$
$\lim_{t \to 0^+}{\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+t}} - \frac{1}{2\sqrt{1-t}}}{2t}$

Ovo je isto što i:
$\lim_{t \to 0^+}{\frac{\frac{1}{\sqrt{1+t}} - \frac{1}{\sqrt{1-t}}}{4t}$

Daljim sređivanjem:
$\lim_{t \to 0^+}{\frac{\sqrt{1-t} - \sqrt{1+t}}{4t\sqrt{1-t^2}}$

Množenjem sa $\frac{\sqrt{1-t} + \sqrt{1+t}}{\sqrt{1-t} + \sqrt{1+t}}$ se ne menja vrednost limesa:
$\lim_{t \to 0^+}{\frac{-2t}{4t\sqrt{1-t^2}(\sqrt{1-t} + \sqrt{1+t})}}$
$\lim_{t \to 0^+}{\frac{-2}{4\sqrt{1-t^2}(\sqrt{1-t} + \sqrt{1+t})}}$

Otuda se zamenom vrednosti t=0 dobija:
$\lim_{t \to 0^+}{\frac{-2}{4\sqrt{1-t^2}(\sqrt{1-t} + \sqrt{1+t})}}=-\frac{1}{4}$

Re: Kako se radi ovaj zadatak? 04.12.2010. u 16:03 · pre 194 meseca #9

Zadatak možemo riješiti tako da dva puta racionališemo brojilac razlomka.

$\lim_{x\to\infty}x\cdot (\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}-2x)=\lim_{x\to\infty}x\cdot\frac{2\sqrt{x^4-x^2}-2x^2}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}+2x}=\\=\lim_{x\to\infty}\frac{-4x^3}{(\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}+2x)\cdot(2\sqrt{x^4-x^2}+2x^2)}=\\=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{-4x^3}{x^3}}{\frac{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}+2x}{x}\cdot\frac{2\sqrt{x^4-x^2}+2x^2}{x^2}}=\frac{-4\cdot 1}{(\sqrt 1+\sqrt 1+2\cdot 1)\cdot(2\cdot\sqrt 1+2\cdot 1)}=-\frac{1}{4}$ .

1

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme