Ako je
, onda važi:
Skup tačaka nagomilavanja niza
je jednak
akko je c iracionalan broj.
Neka je
,
,
. Tada je
, pa pošto je taj skup konačan, skup tačaka nagomilavanja ne može biti
.
Neka je
. Tada je
za
. Zaista, ako je
za
, onda je
, pa je
suprotno iracionalnosti broja
. Jasno je da zbog
ovaj niz ima bar jednu tačku nagomilavanja
.
Neka je
. Tada mogu naći različite
takve da je
, pa je
. Određenosti radi, možemo pretpostaviti da je
. Zbog
za
važi
a u suprotnom
. Stoga je bar jedna od tačaka
tačka nagomilavanja niza
.
Ako je jedinica tačka nagomilavanja, onda se za bilo koje
može naći
takvo da je
. No, onda je
, pa je i nula tačka nagomilavanja. Dakle, nula je tačka nagomilavanja u svakom slučaju.
Drugi način da se dokaže da je nula tačka nagomilavanja je sledeći:
Neka je
proizvoljno i neka je
najmanji prirodan broj za koji je
. Takav broj postoji (i veći je od 1) zato što je
budući da je broj
iracionalan. Obzirom da je
, važi
. Ako bi bilo
, onda bi bilo
suprotno izboru broja
. Dakle,
. Neka je
ako je
, odnosno
u suprotnom. Tada je
takav da je
, pa je nula zaista tačka nagomilavanja.
Dokažimo sada samo tvrđenje.
Neka je sada
i
takvo da je
. Izaberimo takvo
da važi
i neka je
najmanji prirodan broj za koji je
. Tada mora biti
i
. Zaista, u suprotnom bi bilo
, odakle bi sledilo da je
suprotno izboru broja
. No, tada za
važi
.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
BESKONACNI RED-trigonometrijske f-je HITNO!
