Metod likova ZAD

Metod likova ZAD 03.08.2010. u 20:19 · pre 197 meseci #1

ZAD

Tackasto naelektrisanje $+q$ nalazi se na rastojanju $p$ od centra provodne uzemljene sfere poluprecnika $R$ . Primenom metoda likova naci gustinu indukovanog naelektrisanja na sferi.

RES:

Posto je sfera uzemljena $\rightarrow$ potencijal u ma kojoj tacki sfere je nula!

Pa je tako on nula i u proizvoljno odabranoj tacki $M$

$\varphi_M=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}(\frac{q'}{r'}+\frac{q}{r})=0$

Odatle je $q'=-\frac{r'}{r}q$

Primenimo kosinusnu teoremu na dva trougla sa slike i imamo

$r^2=R^2+p^2-2Rpcos\alpha$

i

$r'^2=R^2+p'^2-2Rp'cos\alpha$

odnosno

$r=\sqrt{R^2+p^2-2Rpcos\alpha}$

i

$r'=\sqrt{R^2+p'^2-2Rp'cos\alpha}$

Vratimo se u

$q'=-\frac{r'}{r}q$

i dobijamo

$q'=-q\frac{\sqrt{R^2+p'^2-2Rp'cos\alpha}}{\sqrt{R^2+p^2-2Rpcos\alpha}}$

$q'=-q\sqrt{\frac{R^2+p'^2-2Rp'cos\alpha}{R^2+p^2-2Rpcos\alpha}$

$q'=-q\sqrt{\frac{p'}{p}\cdot \frac{\frac{R^2}{p'}+p'-2Rcos\alpha}{\frac{R^2}{p}+p-2Rcos\alpha}}$

$q'=-q\sqrt{\frac{p'}{p}\cdot \frac{\frac{R^2+p'^2}{p'}-2Rcos\alpha}{\frac{R^2+p^2}{p}-2Rcos\alpha}}$

$q'$ ne bi smelo da zavisi od $\alpha$ , a nece zavisiti akko je

$\frac{R^2+p^2}{p}=\frac{R^2+p'^2}{p'}$

I dalje resim kvadratnu jednacinu

$pp'^2-(R^2+p^2)p'+R^2p=0$ po $p'$

i dobija se

$p_1'=\frac{R^2}{p}$

$p_2'=p$

Dakle, $p'=\frac{R^2}{p}$

$q'=-q\frac{R}{p}$

Polje od 2 tackasta naelektrisanja u tacki $M$ je

$\vec{E}_{M}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}(\frac{q\vec{r}}{r^3}+\frac{q'\vec{r'}}{r'^3})$

gde je

$\vec{r}=R\vec{e}_r-p\vec{e}_z$

$\vec{r'}=R\vec{e}_r-p'\vec{e}_z$

Kada ovo raspisem dobijam

$\vec{E}_M=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{(R^2+p^2-2Rpcos\alpha)^{\frac{3}{2}}}[(R-\frac{p^2}{R})\vec{e}_r-(z+p)\vec{e}_z]$

Da li je ovo OK. dosad?

Ne znam da li je logika dobra i jesam li negde pogresio? Imam samo konacno resenje za ovaj zadatak i ono glasi

$\sigma=\frac{q}{4\pi(R^2+p^2-2Rpcos\alpha)^{\frac{3}{2}}}(R-\frac{p^4}{R^3})$

Unapred hvala na odgovoru!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

sfera.bmp576.05k

Re: Metod likova ZAD 06.08.2010. u 12:31 · pre 197 meseci #2

1) Nepotrebno si komplikovao kod računanja pozicije i naelektrisanja lika:

Potencijal na površini sfere je

$\phi(r=R)=0=\frac{q}{R \left| \vec{e}_r-\frac{p}{R}\vec{e}_{r'} \right|}+\frac{q'}{p' \left| \vec{e}_{r'}-\frac{R}{p'}\vec{e}_r \right|}$ (član $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ sam skratio)

Lako se vidi da je ovo zadovoljeno za svako $\vec{e}_r$ i $\vec{e}_{r'}$ samo ukoliko je

$\frac{q}{R}=-\frac{q'}{p'}$ i $\frac{p}{R}=\frac{R}{p'}$ što znači da je $p'=\frac{R^2}{p}$ i $q'=-q\frac{p'}{R}=-q\frac{R}{p}$

2) Opet si komplikovao u drugom delu zadatka. Polje ti nije potrebno. Granični uslov na površini provodnika je $E^{(2)}_n-E^{(1)}_n = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ . Kako je unutar provodnika polje nula, imamo $E^{(1)}_n=0$ . Pošto je $E^{(2)}_n=-\frac{\partial\phi}{\partial r} \Big{|}_{r=R}$ stoji da je

$\sigma=-\epsilon_0\frac{\partial \phi}{\partial r}\Big{|}_{r=R}$

Potpis

#define TRUE FALSE /*Happy debugging suckers*/

Re: Metod likova ZAD 06.08.2010. u 14:55 · pre 197 meseci #3

Citat:

NicholasMetropolis: 1) Nepotrebno si komplikovao kod računanja pozicije i naelektrisanja lika:

Potencijal na površini sfere je

$\phi(r=R)=0=\frac{q}{R \left| \vec{e}_r-\frac{p}{R}\vec{e}_{r'} \right|}+\frac{q'}{p' \left| \vec{e}_{r'}-\frac{R}{p'}\vec{e}_r \right|}$ (član $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ sam skratio)

Odakle ti ovo?

Citat:

NicholasMetropolis:

2) Opet si komplikovao u drugom delu zadatka. Polje ti nije potrebno. Granični uslov na površini provodnika je $E^{(2)}_n-E^{(1)}_n = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ . Kako je unutar provodnika polje nula, imamo $E^{(1)}_n=0$ . Pošto je $E^{(2)}_n=-\frac{\partial\phi}{\partial r} \Big{|}_{r=R}$ stoji da je

$\sigma=-\epsilon_0\frac{\partial \phi}{\partial r}\Big{|}_{r=R}$

$\sigma=-\epsilon_0\frac{\partial \phi}{\partial r}\Big{|}_{r=R}$

Mislim da ovaj izvod sad nije ni malo lako izračunati!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Metod likova ZAD 10.08.2010. u 12:29 · pre 197 meseci #4

Citat:

petarm:Odakle ti ovo?

$r\vec{e}_{r}$ je tačka u kojoj posmatramo vrednost potencijala (za površinu sfere $r=R$ ), a $p\vec{e}_{r'}$ je položaj naelektrisanja q, a $p'\vec{e}_{r'}$ položaj njegovog lika q'.

Citat:

petarm:Mislim da ovaj izvod sad nije ni malo lako izračunati!

Izvod je jednostavan. Imaš izvode oblika $\frac{\partial}{\partial r}\frac{1}{\sqrt{r^2+a r+ b}}$ koji nisu teški.

Potpis

#define TRUE FALSE /*Happy debugging suckers*/

Re: Metod likova ZAD 12.08.2010. u 15:20 · pre 197 meseci #5

Ako dobro shvatam ti si uzeo da je jedinicni vektor $z$ - ose sa moje slike $\vec{e}_{r'}$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme