Problem iz trigonometrije

Problem iz trigonometrije 01.08.2010. u 17:48 · pre 197 meseci #1

Zaista ne mogu da smislim kako da rešim ovo dole , koje je deo jednog većeg obrazca .

$cos (314t) - cos (650t)=1$

Brojevi su u radijanima ,sem jedinice .

Re: Problem iz trigonometrije 01.08.2010. u 19:24 · pre 197 meseci #2

Jesil probo sa ovim:

cos x - cos y = -2 sin( (x - y)/2 ) sin( (x + y)/2 )

ispašće nešto ovako sin(z)sin(z+a)=nešto

Razvi sin zbira i napravi smjenu ,a onda se rješavaj korjenova.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: Problem iz trigonometrije 02.08.2010. u 07:55 · pre 197 meseci #3

Ništa ne dobijam,opet sin zavisi od t.
Ja treba da nađem t koje zadovoljava onu kosinusnu jednačinu.

Re: Problem iz trigonometrije 02.08.2010. u 09:48 · pre 197 meseci #4

$\input amstex $$\align \cos x&=\frac{e^{\text{\pmb i}x}+e^{-\text{\pmb i}x}}2\\ \cos (314t) - \cos (650t)=1\;&\Longleftrightarrow\; \frac{e^{\text{\pmb i}314 t}+e^{-\hbox{\tiny\pmb{i}}314 t}}2 -\frac{e^{\hbox{\tiny\pmb i}650t}+e^{-\hbox{\tiny\pmb i}650t}}2=1\;\Longleftrightarrow\\ &\Longleftrightarrow\;e^{\hbox{\tiny\pmb i}314t}\cdot\biggl\{1-\frac{e^{\hbox{\tiny\pmb i}336t}+e^{-\hbox{\tiny\pmb i}336t}}2\biggr\}=1\;\Longleftrightarrow\\ &\Longleftrightarrow t=0\;\lor\; \biggl[e^{\hbox{\tiny\pmb i}336t}+e^{-\hbox{\tiny\pmb i}336 t}=2\;\Longleftrightarrow (p\equiv e^{\hbox{\tiny\pmb i}336 t})\\ &\Longleftrightarrow p^2-2p-1=0,\quad e^{\hbox{\tiny\pmb i}336 t}=1\pm\sqrt 2\biggr] \endalign$$ \bye$

IZMENA: Pardon,

$\input amstex $$\align e^{\hbox{\tiny\pmb i}336t}+e^{-\hbox{\tiny\pmb i}336 t}=0\;&\Longleftrightarrow\;e^{\hbox{\tiny\pmb i}336\cdot 2 t}=-1\;\Longleftrightarrow\\ &\Longleftrightarrow 672 t=\frac{\pi}2+2k\pi\;\Longleftrightarrow \fbox{$\displaystyle t=\frac{\pi}{1344}+\frac{k\pi}{336}$}\text.\\ \endalign$$ \bye$

_{[Ovu poruku je menjao Cabo dana 02.08.2010. u 11:03 GMT+1]}

Re: Problem iz trigonometrije 02.08.2010. u 11:11 · pre 197 meseci #5

To je to.
Za k=0 , dobijem vreme u kojem se neke dve periode poklope u kojoj računam maksimalni napon.
Hvala Cabo , mada mi opet nije jasna ova matematika .
Naime .nije mi jasno odakle ovaj deo :
e^i336t + e^-i336t =0

Hvala za rešenje

Re: Problem iz trigonometrije 02.08.2010. u 12:07 · pre 197 meseci #6

Pa, odavde:

$\input amstex $$\align 1-\frac{e^{\hbox{\tiny\pmb i}336t}+e^{-\hbox{\tiny\pmb i}336t}}2=1\;\Longleftrightarrow\;\frac{2-\bigl(e^{\hbox{\tiny\pmb i}336t}+e^{-\hbox{\tiny\pmb i}336t}\bigr)}{2}=\frac 22 \endalign$$ \bye$

Re: Problem iz trigonometrije 02.08.2010. u 16:46 · pre 197 meseci #7

Ne bih se ja složio sa ovim rešenjem.

Prvo, ovaj prelaz ne valja

Citat:

Cabo: $\input amstex $$ \frac{e^{\text{\pmb i}314 t}+e^{-\hbox{\tiny\pmb{i}}314 t}}2 -\frac{e^{\hbox{\tiny\pmb i}650t}+e^{-\hbox{\tiny\pmb i}650t}}2=1\; &\Longleftrightarrow\;e^{\hbox{\tiny\pmb i}314t}\cdot\biggl\{1-\frac{e^{\hbox{\tiny\pmb i}336t}+e^{-\hbox{\tiny\pmb i}336t}}2\biggr\}=1 $$$

I u nastavku ima grešaka (ako je izraz u zagradi jednak jedinici, to ne znači da je ceo izraz sa leve strane jednakosti jednak jedinici), koje nisu bitne, jer se ionako oslanjaju na nešto pogrešno.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem iz trigonometrije 02.08.2010. u 16:53 · pre 197 meseci #8

Ja lično ne vidim drugi način da se ovo reši, osim numerički.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem iz trigonometrije 02.08.2010. u 19:22 · pre 197 meseci #9

Tačno. Ne znam šta mi je bilo jutros pa sam ono napisao. Imao sam nameru da pomognem čoveku, ali izgleda da spavanje 5 sati dnevno uzima svoj danak.

Spremam Realne i kompleksne funkcije, i to mi je poslednji ispit. Pošizeo sam.

Re: Problem iz trigonometrije 02.08.2010. u 20:06 · pre 197 meseci #10

@Cabo
Izvinjavam se svima, ovo bi trebalo da bude privatna poruka, ali kao novopeceni clan nemam pravo na slanje iste kao takve.

@Cabo
Upravo pocinjem da spremam RiKF, stari statut, L-smer, matf-bg. Ukoliko ti ova recenica znaci nesto, mogli bismo, mozda, da razmenimo mail-ove...
P.S. Uz par instrukcija mogu i da naucim da kucam... :)

Re: Problem iz trigonometrije 03.08.2010. u 01:20 · pre 197 meseci #11

@Cabo: što nisi čuvao Verovatnoću za kraj?

Re: Problem iz trigonometrije 03.08.2010. u 10:12 · pre 197 meseci #12

Nemam pojma. :P

U principu, uvek sam radio prvo lakše stvari.

Re: Problem iz trigonometrije 04.08.2010. u 17:07 · pre 197 meseci #13

Funkcija $\cos(314t)-\cos(650t)-1$ je očigledno $\pi$ -periodična, pa joj nule treba tražiti u intervalu $[0,\pi)$ .

Prilažem program pisan na C++ jeziku, po m-M Calculus metodi S. Prešića, koji je lokalizovao 1095 rešenja uz napomenu da greška računa nije uzeta u obzir, tako da rezultat ne treba uzeti zdravo za gotovo.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

main.cpp1.77k

results.txt68.94k

Re: Problem iz trigonometrije 04.08.2010. u 19:19 · pre 197 meseci #14

Budući da je

cos(314t) = 1 + cos(650t)

sledi da cos(650t) < 0 (očigledno t ne može biti 0 ni Pi). Odnono Pi/2 < 650t < 3Pi/2 i 650t <> Pi.
Jedno približno rešenje je t = -1/320.1075 a pošto je cos parna tada je i rešenje t = 1/320.1075
To sam dobio polovljenjem u 5-6 koraka ukucavajući u Google.

Re: Problem iz trigonometrije 05.08.2010. u 09:02 · pre 197 meseci #15

Citat:

holononi: Budući da je

cos(314t) = 1 + cos(650t)

sledi da cos(650t) < 0 (očigledno t ne može biti 0 ni Pi).

Da, ali u mojim rezultatima i nema intervala koji obuhvataju niti jednu od tih vrednosti.

Citat:

holononi: Odnono Pi/2 < 650t < 3Pi/2 i 650t <> Pi.

Zapravo, $(2k+1/2)\pi\leq 650t\leq (2k+3/2)\pi$ za $k\in\{0,324\}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem iz trigonometrije 05.08.2010. u 10:01 · pre 197 meseci #16

Uopšte nisam sporio tvoje rešenje. Samo sam primetio da se jednostavnim transformacijama dobije pored ostalog i

cos²(157t) = -cos(650t)

pa je jasno da je leva strana sigurno nenegativna pa cos sa desne strana ne može biti pozitivan. Naravno rezultat bi trebalo uopštiti sa 2k*pi ali se ni tada ne bi dobila sva rešenja tako da sam to preskočio.

Svaki pokušaj da se problem pojednostavi vodi u komplikacije ili vraća na početak. Na primer

cos²(157t) = cos(pi)cos(650t)

može da se vrti u nedogled. Slično i izrazima sa eksponencijalnom funkcijom.

Re: Problem iz trigonometrije 05.08.2010. u 10:22 · pre 197 meseci #17

Da.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem iz trigonometrije 05.08.2010. u 11:45 · pre 197 meseci #18

Problem smo mogli svesti i na metod fiksne tačke jer je

cos(ax) - cosx = 1

odakle

x = (1/a)arccos(1+cosx)

Re: Problem iz trigonometrije 05.08.2010. u 12:32 · pre 197 meseci #19

Evo, nove verzije programa.

Parametar Epsilon koji se ispisuje na kraju je udaljenost od nule najbliže vrednosti nuli od onih koje treba da budu različite od nule da bi broj rešenja bio tačno određen. Pošto je ta vrednost značajno veća od tačnosti upotrebljenog realnog tipa, rešenja na intervalu $[0,\pi)$ zaista ima tačno 1095.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

main.cpp3.14k

results.txt77.74k

Re: Problem iz trigonometrije 05.08.2010. u 20:51 · pre 197 meseci #20

Našao sam grešku u programu. Zapravo, ima 1149 rešenja.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

main.cpp3.16k

results.txt81.57k

Srodne teme