Razvoj ln(x) preko polinoma???????

Razvoj ln(x) preko polinoma??????? 26.05.2010. u 16:26 · pre 199 meseci #1

Potreban mi je razvoj funkcije ln(x) preko polinoma??? Da li neko zna????

Re: Razvoj ln(x) preko polinoma??????? 26.05.2010. u 18:33 · pre 199 meseci #2

$lnx=(x-1)-{(x-1)^2\over 2}+{(x-1)^3\over 3}-{(x-1)^4\over 4}+-...=\sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^{n+1} (x-1)^n \over n}$

Re: Razvoj ln(x) preko polinoma??????? 26.05.2010. u 20:02 · pre 199 meseci #3

Ovo je razvoj u okolini jedinice. Maklorenov red (u okolini nule) ne postoji jer funkcija i njeni izvodi nisu definisani.

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Re: Razvoj ln(x) preko polinoma??????? 17.07.2010. u 18:48 · pre 198 meseci #4

Zbog ovoga sto je naveo atomant se u knjigama obicno daje razvoj funkcije $ln(1+x)$ . Ovo sad mozes razviti u okolini nule:

$f(x)=f(0)+xf'(0)+\frac{x^2}{2!}f''(0)+\frac{x^3}{3!}f'''(0)+...$

$f(x)=ln(1+x)$
$f(0)=ln1=0$

$f'(x)=\frac{1}{1+x} \rightarrow f'(0)=1$

$f''(x)=-\frac{1}{(1+x)^2} \rightarrow f''(0)=-1$

$f'''(x)=\frac{2(1+x)}{(1+x)^4}=\frac{2}{(1+x)^3} \rightarrow f'''(0)=2$

$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdot 2-...=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...$

Trazenjem i ostalih visih izvoda dobija se

$ln(1+x)=\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$

za $-1<x<1$ tj. u okolini $0$ .

Razvoj $lnx$ oko jedinice dobija se zamenom $x+1\rightarrow x$

$lnx=\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(x-1)^n}{n}$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Razvoj ln(x) preko polinoma??????? 17.07.2010. u 19:28 · pre 198 meseci #5

Ne mogu da verujem koliko ljudi postavlja pitanja u vezi sa najobičnijim Tejlorovim razvojem. Mislim, šta je, profani vam ovo ne objašnjavaju?

Note taken kad budem držao časove.

Re: Razvoj ln(x) preko polinoma??????? 17.07.2010. u 22:37 · pre 198 meseci #6

Može ovako:

Za ma koje $t\in(-1,1]$ važi

$\ln(1+t)=t-\frac{t^2}2+\frac{t^3}3-\frac{t^4}4+\frac{t^5}5-\frac{t^6}6+\cdots$ .

Za ma koje $t\in[-1,1)$ važi

$-\ln(1-t)=t+\frac{t^2}2+\frac{t^3}3+\frac{t^4}4+\frac{t^5}5+\frac{t^6}6+\cdots$ .

Sabiranjem ovih jednakosti dobijamo da za svako $t\in(-1,1)$ važi

$\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right)=2t\left(1+\frac{t^2}3+\frac{t^4}5+\cdots\right)$ .

Odavde se dobija da je

$\ln x=2t\left(1+\frac{t^2}3+\frac{t^4}5+\cdots\right)$ za $t=\frac{x-1}{x+1}$ .

Ovaj proces konvergira za svako $x>0$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Razvoj ln(x) preko polinoma??????? 18.07.2010. u 00:32 · pre 198 meseci #7

Hvala svima puno!

Srodne teme