Z-transformacija - jedan problem -> 2 razlicita rjesenja

Recimo da imam funkciju u z-domenu:

X(z) = 1/(z+3)

i da je potrebno to inverzno-transformisati u x[n].

U tablicama nema dirketnog para za ovaj oblik z-funkcije, ali ima dvije osobine koje se mogu iskoristiti da se dodje do inverzne transformacije.

1) Koristeci osobinu da je inverzna transformacija od X(1/z) jednaka x[-n];
2) Koristeci osobinu da je inverzna transformacija od z^aX(z) jednaka x[n-a].

E ja sad kad idem jednim i drugim putem dobijam razlicito rjesenje.
Evo mog postupka na slici:



Crvenim fontom su oznaceni prvo i drugo rjesenje.
Zasto se razlikuju? Gdje ja pravim gresku?

A ko kaze da si napravio gresku :) ?

Elem, z transformacija je preslikavanje definisano formulom .
Ako usvojimo ovakvu definiciju, i pod pretpostavkom da trazimo kauzalne sisteme, imamo sljedece:


Z transformacija je takva da dva razlicita signala mogu da imaju isti oblik u z domenu. Ovo je moguce naravno uz razlicit region of convergence, tj. ROC.

Primjer 1.:
Neka je . Imamo uz ROC: .

Primjer 2.:
Neka je . Imamo uz drugaciji ROC: .

Dakle, uz dodatni uslov da je funkcija kauzalna ili, ekvivalentno, uz preciziranje koja oblast konvergencije vazi moguce je jednoznacno odrediti funkciju u n-domenu cija je z transformacija data gornjim izrazom.
Ti si u jednom slucaju radio jedno, u drugom drugo. Za listu transformacija kao i za listu "pravila" operisanja z transformacijom uvijek postoji uslov u vidu oblasti konvergencije. A kako sam vec rekao, pretpostavljam da radis samo sa kauzalnim signalima, tako da bi ti trebalo biti jasno koje pretpostavke treba da usvojis.

Btw, ako smije da se zna, je li se to spremaju signali i sistemi, ili ti je negdje zatrebalo u obradi signala?

Hvala na odgovoru i pojasnjenju! ako mozes jos samo da bacis pogled da vidis da li sam ja iz toga nesto naucio :)

I ja sam naknadno primjetio da kad u ovom drugom nacinu (u mom postu) koristim inverznu transformaciju za |z| < |a|, onda dobijem isto, ali ne znadoh sebi da objasnim zasto.
Znaci ako sam dobro razumio, ako na prvi nacin kada radimo inverznu transformaciju od X(1/z) koja se preslikava u x[-n] onda treba koristiti inverznu transformaciju za ROC |z| < |a| ako hocemo da dobijemo kauzalni signal (n>=0);
A ako radimo na drugi nacin, koristeci se inverznom transformacijom od z^-1 * X(z) (sto je u stvari vremensko kasnjenje u vremenskom domenu), onda treba da koristim ROC |z| > |a| da bih dobio kauzalni signal.

Ja sam u oba slucaja koristio tablicu parova za |z| > |a|, ali u prvom slucaju je trebalo da obrnem ROC u |z| < |a| zato sto sam promjenio argument Z-funkcije iz z u 1/z, sto onda obrce i ROC. Ako je ovo sto sam napisao ispravno onda je to ono sto sam smetnuo sa uma.
Jeli tako?



Treba da skrpim neki digitalni filter pa obnavljam malo gradivo. Konkretno ovaj razlomak nije bas iz tog problema, nego mi se javljaju faktori tog oblika, pa me - sto bi se reklo - bacaju u rebus, posto nisam bas neki vrstan matematicar, a pogotovo ne teorijski.
Integralim, diferenciram, furijeisem i laplasisem, ali samo me nemojte pitati da dokazem neku teoremu koja stoji iza toga :)
Sto je naravno steta, jer ponekad malo teorije moze ustedjeti puno prakse....

Da, upravo to, shvatio si.