Dobijanje frekventnog odziva

Zamolio bih nekog ako može da mi pomogne u sledećem problemu.
Naime, treba numerički rešiti vremenski zavisnu jednačinu protoka snage, koja ima sledeći oblik:

$\frac{\partial p(\theta,z,t)}{\partial z}+\frac{\partial t}{\partial z}\frac{\partial p(\theta,z,t)}{\partial t}=-A\theta^2p(\theta,z,t)+\frac{D}{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\theta\frac{\partial p(\theta,z,t)}{\partial\theta})$

gde je: A-faktor multiplikacije drugog reda u izrazu za koeficijent gubitka snage
D-koeficijent sprezanja
z-dužina vlakna
θ-ugao prostiranja svetlosti u odnosu na osu vlakna

Granični uslovi su:

Nakon sređivanja imamo:

$\frac{\partial p(\theta,z,t)}{\partial z}=-A\theta^2p(\theta,z,t)-\frac{n}{2c}\theta^2\frac{\partial p(\theta,z,t)}{\partial t}+\frac{D}{\theta}\frac{\partial p(\theta,z,t)}{\partial\theta}+D\frac{\partial^2p(\theta,z,t)}{\partial\theta^2}$

nakon primene Furijeove transformacije, i prelaska u frekventni domen jednačina postaje:

$\frac{\partial p(\theta,z,\omega)}{\partial z}=-(A\theta^2+j \omega\frac{n}{2c}\theta^2}) p(\theta,z,\omega) +\frac{D}{\theta}\frac{\partial p(\theta,z,\omega)}{\partial\theta}+D\frac{\partial^2p(\theta,z,\omega)}{\partial\theta^2}$

Kako je $p(\theta,z,\omega)$ kompleksno, razdvajamo ga na realni i imaginarni deo, pa dobijamo:

$\frac{\partial p_r(\theta,z,\omega)}{\partial z}=-A\theta^2 p_r(\theta,z,\omega)+\frac{D}{\theta}\frac{\partial p_r(\theta,z,\omega)}{\partial\theta}+D\frac{\partial^2p_r(\theta,z,\omega)}{\partial\theta^2}+\omega\frac{n}{2c}\theta^2} p_i(\theta,z,\omega)$

i

$\frac{\partial p_i(\theta,z,\omega)}{\partial z}=-A\theta^2 p_i(\theta,z,\omega)+\frac{D}{\theta}\frac{\partial p_i(\theta,z,\omega)}{\partial\theta}+D\frac{\partial^2p_i(\theta,z,\omega)}{\partial\theta^2}-\omega\frac{n}{2c}\theta^2} p_r(\theta,z,\omega)$

Primenom eksplicitnog metoda konačnih razlika, koristeći:

1) šemu centralne razlike za izvode $\frac{\partial p}{\partial\theta}\quad i \quad \frac{\partial^2p}{\partial\theta^2}$ dobijamo:

$(\frac{\partial p}{\partial\theta})_{i,j}=\frac{p_{i+1,j}-p_{i-1,j}}{2\Delta\theta}$

$(\frac{\partial^2 p}{\partial\theta^2})_{i,j})=\frac{p_{i+1,j}-2p_{i,j}+p_{i-1,j}}{\Delta\theta^2}$

2) šemu prednje razlike za izvod $\frac{\partial p}{\partial z}$ dobijamo:

$(\frac{\partial p}{\partial z})_{i,j}=\frac{p_{i,j+1}-p_{i,j}}{\Delta z}$

Na taj način dobijamo dve uparene jednačine:

$p_{i,j+1}^{r}=(\frac{\Delta z D}{\Delta\theta^2}-\frac{\Delta z D}{2\Delta\theta\theta_{i,j}})p_{i-1,j}^{r} + (1-\frac{2\Delta z D}{\Delta\theta^2}-\Delta zA\theta_{i,j}^2)p_{i,j}^{r} + (\frac{\Delta z D}{2\Delta\theta\theta_{i,j}}+\frac{\Delta z D}{\Delta\theta^2})p_{i+1,j}^{r}+\omega\frac{n}{2c}\Delta z\theta_{i,j}^2} p_{i,j}^{i}$

i

$p_{i,j+1}^{i}=(\frac{\Delta z D}{\Delta\theta^2}-\frac{\Delta z D}{2\Delta\theta\theta_{i,j}})p_{i-1,j}^{i} + (1-\frac{2\Delta z D}{\Delta\theta^2}-\Delta zA\theta_{i,j}^2)p_{i,j}^{i} + (\frac{\Delta z D}{2\Delta\theta\theta_{i,j}}+\frac{\Delta z D}{\Delta\theta^2})p_{i+1,j}^{i}-\omega\frac{n}{2c}\Delta z\theta_{i,j}^2} p_{i,j}^{r}$

pri čemu granični uslovi postaju: $p_{N,j}=0 \quad i \quad p_{0,j}=p_{1,j}$

Da bismo izbegli problem singularnosti u tačkama θ=0 koristimo: $\lim_{\theta \to 0} {\frac {1}{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\theta\frac{\partial p(\theta,z)}{\partial\theta}) = 2\frac{\partial^2p(\theta,z)}{\partial^2\theta} _{za\theta=0} }$

Ovo se dalje rešava numerički, pri čemu je upadni snop svetlosti, u vremenskom domenu, u obliku ravanskog talasa dat pomoću Dirakovog impulsa u vremenu, pod nekim uglom $\theta_0$ u odnosu na osu vlakna.

Mene, kao prvo zanima kako će ulazni impuls izgledati u ferkventnom domenu, i kako ga implementirati na početku vlakna prilikom programiranja.

Drugo što me zanima je kako da dobijem frekventni odziv, nakon što sam dobio $p_r(\theta,z) i p_i(\theta,z)$ pri čemu za $\omega$ uzimam određen broj frekvencija.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme