Legendreov simbol

Odgovori Nova tema

4 odgovora
2.137 pregleda

Legendreov simbol 24.02.2010. u 00:15 · pre 203 meseca #1

Imam problem. Naime ne znam kako se resavaju polinomijalne kongruencije pomocu Legendreovog simbola.

Zadatak glasi:

Koristeci osobine Legendreovog simbola ispitati resivost sledece kongruencije:

9x²-6x-1=0 (mod 13)

= je kongruentno

Napomonjem:
Legendreov teorem:

Neka je p prost broj,

P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀
polinom stepena n>1 (vece ili jednako 1) sa celobrojnim koeficijentima, pri cemu njegov vodeci koeficijent a_n
nije djeljiv sa p.
Tada polinom P(x) ima najvise n nekongruentnih korena moduo p.

Unapred zahvaljujem svima koji mi pomognu pri objesnjenju zadatka

Re: Legendreov simbol 24.02.2010. u 16:13 · pre 203 meseca #2

Ekvivalentno, da li je $(3x-1)^2\equiv_{13}2$ .

$\left(\frac 2{13}\right)=(-1)^{\frac{13^2-1}8}=(-1)^{21}=-1$ .

Data kongruencija nema rešenja.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Legendreov simbol 24.02.2010. u 22:54 · pre 203 meseca #3

Pozdrav

Prvo da se zahvalim na pomoci i imam neka pitanja vezana za zadatak:
9x²-6x-1 nije isto sto i (3x-1)².

Kod ₁₃2 - 2 najveci stepen polinoma, a 13 je moduo.

Rezultat je -1, na osnovu njega konstatujemo da kongruencija nema resenja.

Ukoliko ima resenja koji rezultat treba biti

Hvala jos jednom

Re: Legendreov simbol 24.02.2010. u 23:58 · pre 203 meseca #4

$9x^2-6x-1\equiv_{13}0$ je ekvivalentno sa $9x^2-6x+1\equiv_{13}2$ , odnosno $(3x-1)^2\equiv_{13}2$ .

Podseti se definicije Ležandrovog simbola $\left(\frac ap\right)$ , gde je $p$ prost broj. On iznosi 0 ako $p|a$ . U suprotnom iznosi 1 ako postoji $b$ tako da je $b^2\equiv_pa$ , odnosno -1 u preostalom slučaju. Za neparan prost broj $p$ važi formula $\left(\frac 2p\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}8}$ . Obzirom da je $\left(\frac 2{13}\right)=-1$ , ne postoji broj čiji je kvadrat kongruentan sa 2 po modulu 13.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Legendreov simbol 25.02.2010. u 00:14 · pre 203 meseca #5

Hvala ti puuuuuuunooooooooo

OK sada je u redu

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme