Problem sa sgn(x) kod resavanja integrala

Problem sa sgn(x) kod resavanja integrala 27.12.2009. u 00:45 · pre 205 meseci #1

Desava mi se u zadacima da treba da izrazunam recimo integral od absolutnog x pa me interesuje li se apsolutne zagrade oslobadja tako sto se napise x*sgn(x)
i onda se racuna normalno po x i samo se doda sgn(x)? Dobijam cesto u zadacima npr . integral od e^(integral 1/x) dx, e sad na predavanju je profesor od toga dobio: int od e^lnx , pa onda integral od x,
a valjda treba da se dobije int od e^ln(abs(x)) pa onda int od abs(x) pa se onda radi normalno i doda se sgn(x).
Jedan profesor je radio jedno ,jedan drugo, pa ne znam jel taj sgn(x) tj. znak od x onda uopste bitan ili neko tu ocigledno gresi.
Hvala!

Re: Problem sa sgn(x) kod resavanja integrala 27.12.2009. u 08:28 · pre 205 meseci #2

Za svaku neprekidnu funkciju $f$ definisanu na nekom intervali $I$ i proizvoljno $a\in I$ je

$\int f(x)\,dx=C+\int_a^xf(t)\,dt$ .

Konkretno,

$\int|x|\,dx=C+\int_0^x|t|\,dt=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}2,& x>0\\-\frac{x^2}2,&x\leq 0.\end{array}\right.$

Kod određenog integrala oblast integracije deliš na delove gde je sgn konstantan.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem sa sgn(x) kod resavanja integrala 27.12.2009. u 19:53 · pre 205 meseci #3

Drugim rečima, funkcija $\hbox{sgn}\,x$ ima dve grane. U prevodu: kao da radiš sa dve funkcije, $f_1(x)=1$ sa domenom $\input amstex \font\amssy=msam10 \def\leqslant{\mathrel{\hbox{\amssy\char54}}} \def\geqslant{\mathrel{\hbox{\amssy\char62}}} \def\eqslantless{\mathrel{\hbox{\amssy\char48}}} \def\eqslantgtr{\mathrel{\hbox{\amssy\char49}}} $$\pmb{\mathrm{R}}^+_0=\{x\in\pmb{\mathrm{R}}\mid x\geqslant0\}$$ \bye$ i $f_2(x)=-1$ sa domenom $\input amstex $$\pmb{\mathrm{R}}^-=\{x\in\pmb{\mathrm{R}}\mid x<0\}$$ \bye$ , pa i integral ima dve grane, tj. imaš dva integrala.

IZMENA: E, cvrc! :-S

http://en.wikipedia.org/wiki/Sgn

Citat:

The signum function of a real number x is defined as follows: $\input amstex $$\hbox{sgn}\,(x) = \cases -1 & \hbox{if } x < 0, \cr 0 & \hbox{if } x = 0, \cr 1 & \hbox{if } x > 0. \endcases$$ \bye$

Dakle, tri funkcije, a ne dve. $\hbox{sgn}\,0=0$ .

IZMENA 2: Inače, ko nije znao, $x\cdot\hbox{sgn}\,x$ je samo komplikovan način da se zapiše $|x|$ . :-}

Re: Problem sa sgn(x) kod resavanja integrala 28.12.2009. u 23:25 · pre 205 meseci #4

Hvala momci :). Uvek mi je to sing(x) delovalo kao nepotrebno. :)
Cesto mi se to javlja kao deo kod linearne diferencijalne jednacine, al sam saznao da se to zanemaruje u krajnjem resenju jer rezultat bude isti.
Tako da e na integral od 1/x se radi kao e^lnx , tj. x i onda sve ide normalno, nema abs(x). Uglavnom se to javlja u takvom tipu zadatka koje radim. Nego ova proferorka bespotrebno zakomplikovala. :)

Re: Problem sa sgn(x) kod resavanja integrala 29.12.2009. u 00:05 · pre 205 meseci #5

Integral od 1/x je tabličan i iznosi ln(abs(x)).
Tako da e na integral od 1/x se radi kao e^ln(abs(x)) što jeste abs(x).
Profesorka nije ništa zakomplikovala.

Re: Problem sa sgn(x) kod resavanja integrala 29.12.2009. u 14:05 · pre 205 meseci #6

Zavisi od domena.

Ako je rečeno u postavci da je funkcija zadana za, recimo, $x>0$ ili $x\in[3,\sqrt{15}]$ , onda ti se apsolutna vrednost „zanemaruje“. Ali ako je domen $x\in[-2,2]$ , onda nije isto $|x|$ i $x$ . Druga stvar je što je $\ln$ definisano samo za podskupove intervala $(0,+\infty)$ , pa ti je $\ln|x|$ u stvari proširivanje domena, u „slengu“.

Re: Problem sa sgn(x) kod resavanja integrala 29.12.2009. u 16:32 · pre 205 meseci #7

Za neodređeni integral se podrazumeva, ako se drugačije ne kaže, da se radi na proizvoljnom intervalu, koji je sadržan u domenu podintegralne funkcije.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem sa sgn(x) kod resavanja integrala 29.12.2009. u 17:59 · pre 205 meseci #8

Miki nisam bas mislio da je to dodala nepotrebno. U sustini jeste tablicni i tako je kako kazes ali kod ovih diferencijanlih jednacina sgn(x) se uvek na kraju ponisti, pa se zato zanemaruje. Tako nam je rekao drugi profesor. A meni je bas bitno kod tog oblika jednacine ta cinjenica da se zanemari sgn(x), jer onda sve to postaje dosta konfuzno. Inace, jasno je sve u opstem slucaju sto se tice sgn(x) i integrala od 1/x. ;)

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme