Laplasijan u sfernim koordinatama

Laplasijan u sfernim koordinatama 24.11.2009. u 14:03 · pre 205 meseci #1

Da li postoji neki relativno brz način da se dobije da Laplasijan u sfernim koordinatama ima formu

$\Delta=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Laplasijan u sfernim koordinatama 24.11.2009. u 14:18 · pre 205 meseci #2

Zavisi sta je za tebe brzo? Kod nas na vezbama asistent je to izvodio jedan ceo cas.

Potpis

-I know UNIX, PASCAL, C, FORTRAN,
COBOL, and nineteen other high-tech
words.

Re: Laplasijan u sfernim koordinatama 24.11.2009. u 14:25 · pre 205 meseci #3

To je taj standardan način koji nije brz. Pretpostavljam da je onda jedino rešenje upamtiti ovo!

Ja pamtim da je Laplasijan u sfernim koordinatama kada radim kvantnu

$\Delta=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})-\frac{\hat{l}^2}{\hbar^2r^2}$

pa ne znam formu operatora $\hat{l}^2$ , al znam njegov svojstveni problem. Al često mi ispliva i ovaj glomazan izraz van tog konteksta.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Laplasijan u sfernim koordinatama 24.11.2009. u 18:34 · pre 205 meseci #4

Citat:

petarm:Pretpostavljam da je onda jedino rešenje upamtiti ovo!

Zašto bi ga uopšte pamtio? Nabavi neki priručnik, Bronštajna na primer. Uostalom, ako ga često koristiš, znaćeš ga napamet. Kada sam spremao elektrodinamiku znao sam gomilu formula iz vektorske analize napamet, tako da pruručnik na pismenom uopšte nisam ni gledao. Naravno, posle par nedelja sam većinu stvari zaboravio, ali to je nebitno.

Potpis

#define TRUE FALSE /*Happy debugging suckers*/

Re: Laplasijan u sfernim koordinatama 25.11.2009. u 03:42 · pre 205 meseci #5

Kao sto je Nicholas rekao, znati ga napisati nije nikakav doprinos necijem znanju fizike.
No, ipak je prilikom izvoda i rjesavanja zadataka korisno ga upamtiti.
Evo ti jedan metod kojim se uvijek mozes izvuci kad ga zaboravis (barem kod mene funkcionira ok), u bilo kojim koordinatama:

Neka je $\Phi$ skalarno polje ciji laplasijan trazimo.

Totalni diferencijal je $d\Phi = \frac{\partial\Phi}{\partial u}du+\frac{\partial\Phi}{\partial v}dv+\frac{\partial\Phi}{\partial w}dw$

Odredis lameove koeficijente: f, g, h, za koordinate u kojem zelis ispisati laplasijan.

U tim koordinatama je $\vec{dl}=fdu\hat{u}+gdv\hat{v}+hdw\hat{w}$

Pa gorepomenuti diferencijal moze napisati kao skalarni produkt: $d\Phi=\nabla\Phi\vec{dl}$
pri cemu je $\nabla\Phi = \frac{1}{f}\frac{\partial\Phi}{\partial u}\hat{u}+\frac{1}{g}\frac{\partial\Phi}{\partial v}\hat{v}+\frac{1}{h}\frac{\partial\Phi}{\partial w}\hat{w}$ .

Dakle dobili smo gradijent zadanog polja.

Sad bi trebalo jos samo izvesti divergenciju vektorskog polja u generaliziranim koordinatama,ali nema smisla da to ispisujem. No nije tesko zapamtiti:
$\nabla\vec{A}=\frac{1}{fgh}[\frac{\partial}{\partial u}(ghA_u)+\frac{\partial}{\partial v}(fhA_v)+\frac{\partial}{\partial w}(fgA_w)]$ .

Dakle imamo izraz za gradijent i za divergenciju u generaliziranim koordinatama.

Laplasijan ce biti divergencija gradijenta:
$\nabla^2\Phi = \frac{1}{fgh}[\frac{\partial}{\partial u}(\frac{gh}{f}\frac{\partial\Phi}{\partial u})+...+...]$

Potpis

while(sleeping) cat_wails(); wake_up(); for(int i=0;i<9;i++) shoot_cat(); rejoice();
goto(bed);

Re: Laplasijan u sfernim koordinatama 26.11.2009. u 14:32 · pre 205 meseci #6

Nemam sad pri ruci, ali ima u knjizi Julke Knezevic izvodjenje Laplasijana u raznim sistemima koordinata. Knjiga se zove parcijalne jednacine ili tako nesto. A izvodjenja za 3-4 sistema koordinata su stala na 2-3 stranice koliko se sijecam.

Potpis

Reko mi tvoj brat da studiras za programatora!

Re: Laplasijan u sfernim koordinatama 03.02.2015. u 00:11 · pre 142 meseci #7

Kreneš od definicije. div grad u. Prebaciš se u sferne koordinate i polako. Ne vidim da ima tu neke prečice.

Potpis

1024 Game

Srodne teme