Konvergira, divergira?

Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 09:07 · pre 207 meseci #1

Pozdrav ljudi.
Da li neko može prostim rečima da mi objasni ova dva pojma "konvergira" i "divergira" kod redova?
Imam neke matematičke definicije ali mi nije baš jasno, pa ako neko može malo da pojasni, možda i uz neki primer.

Hvala unapred.

Re: Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 10:15 · pre 207 meseci #2

http://en.wikipedia.org/wiki/Convergent_series

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 10:51 · pre 207 meseci #3

Ne znam da li sam dobro ukapirao...
Kada neka suma ide ka nekom odredjenom broju, onda se kaže da konvergira, a kada ide ka neodređenom onda divergira?

Re: Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 11:25 · pre 207 meseci #4

Divergira ako ne konvergira. A šta ti znači "ide ka nekom broju"?

Ljudi, shvatite, kada bi neko našao jednostavniju definiciju konvergencije brojnih redova od postojeće, matematičari bi je prvi koristili. Uvek se teži pojednostavljivanju, ako je moguće. O ovome su matematičari razmišljali preko 100 godina (standardno zasnivanje analize je završeno radovima Kantora i Dedekinda, koji se odnose na zasnivanje realnih brojeva, još 1872/73 godine). Da je neko našao prostiju definiciju, ona bi bila u upotrebi.ž To je akao kada bi otišli u prodavnicu automobila i pitali imaju li nešto za 50 evra za studente i penzionere - nema.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 11:45 · pre 207 meseci #5

Citat:

Nedeljko: Divergira ako ne konvergira. A šta ti znači "ide ka nekom broju"?

Pa npr. iz ovog primera:

Ja samo pitam da mi neko objasni onako kako je on razumeo, a bez matematičih definicija, znači svojim rečima.
Lako ću ja to kasnije dopuniti...

Re: Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 12:05 · pre 207 meseci #6

A da li bi moglo da bude ovako, laicki gledano?
Konvergira: kako "ide" red, svaki sledeci clan je sve blizi i blizi prethodnom, odnosno red postaje sve vise zgusnut.
Divergira bi bio ako postaje sve "redji i redji".

Re: Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 12:51 · pre 207 meseci #7

Citat:

TheK: Ne znam da li sam dobro ukapirao...
Kada neka suma ide ka nekom odredjenom broju, onda se kaže da konvergira, a kada ide ka neodređenom onda divergira?

Za "opusteniju" verziju definicije mozes da koristis to sto si rekao. Za striktno matematicku koju ces reci profesoru moras ipak da koristis onu iz udzbenika.

Potpis

-I know UNIX, PASCAL, C, FORTRAN,
COBOL, and nineteen other high-tech
words.

Re: Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 14:50 · pre 207 meseci #8

Citat:

TheK: Pozdrav ljudi.
Da li neko može prostim rečima da mi objasni ova dva pojma "konvergira" i "divergira" kod redova?
...

Pa evo i ja da pripomognem jednim prostim primerom:
-----------------------------------------
zašto niz plavuša konvergira?

jer je ograničen i monoton
-----------------------------------------

Re: Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 15:47 · pre 207 meseci #9

Citat:

IUOP_1: A da li bi moglo da bude ovako, laicki gledano?
Konvergira: kako "ide" red, svaki sledeci clan je sve blizi i blizi prethodnom, odnosno red postaje sve vise zgusnut.
Divergira bi bio ako postaje sve "redji i redji".

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1n$ je divergentan red. Rekoh, ako i može prostije, to niko nije uspeo da pronađe. U protivnom bio objavio rad, barem metodološki, ako ne naučni i radilo bi se tako. Kada bi se znalo prostije, tako bi se i radilo.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 16:13 · pre 207 meseci #10

@ Nedeljko
Covek je pitao kako je ko razumeo te pojmove, a nije trazio najprostiju matematicku definiciju!

Re: Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 17:50 · pre 207 meseci #11

Ok, evo konkretan primer, pa bih zamolio ako neko moze da pokaze kako se radi:

$|q|<1 \Rightarrow \sum^{+\infty}_{k=1}q^k=\frac{q}{1-q}$

Re: Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 18:31 · pre 207 meseci #12

Citat:

IUOP_1: @ Nedeljko
Covek je pitao kako je ko razumeo te pojmove, a nije trazio najprostiju matematicku definiciju!

Pitao je da mu se prostim rečima kaže šta znače ti pojmovi. Matematičari su to uprostili koliko su umeli. Svako dalje uprošćavanje bilo bi značajan pomak napred.

Dakle, ovako, delimična suma tog reda je $S_n=\sum_{k=1}^nq^k=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}$ , što se dokazuje indukcijom. Stoga je $\left|S_n-\frac{q}{1-q}\right|=\frac{|q|^{n+1}}{|1-q|}$ . Neka je dato $\varepsilon>0$ . Nas zanima kada je $\left|S_n-\frac{q}{1-q}\right|<\varepsilon$ . Ta nejednačina je ekvivalentna sa $n>\frac{\ln|\varepsilon(1-q)|}{\ln|q|}-1$ , pa ako izaberemo bilo koje $n_0\geq\frac{\ln|\varepsilon(1-q)|}{\ln|q|}$ , važiće $\left|S_n-\frac{q}{1-q}\right|<\varepsilon$ za svako $n\geq n_0$ . Drugim rečima, nejednakost $\left|S_n-\frac{q}{1-q}\right|<\varepsilon$ važi pošev odnekle, pa nadalje. To je zato što je ekvivalentna nejednakosti $n>\frac{\ln|\varepsilon(1-q)|}{\ln|q|}-1$ , koja očigledno važi počev odnekle, pa nadalje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 18:47 · pre 207 meseci #13

Stvarno hvala puno na pomoći!

Re: Konvergira, divergira? 11.10.2009. u 19:29 · pre 207 meseci #14

Kada su pitali jednog poznatog matematičara (kao za inat ne mogu trenutno da se setim koga tačno; Gausa? Njutna? Nije bitno.) kako je došao do svojih otkrića, odgovorio je:

„Neprestano sam mislio o tome.“

Tako je i kod shvatanja osnovnih matematičkih pojmova. Osnovna stvar kod Analize je shvatiti odnos beskonačnih i konačnih veličina. Sve se vrti oko toga: tačke nagomilavanja, konvergencija, diferencijabilnost, redovi, razvoji...

Re: Konvergira, divergira? 17.10.2009. u 11:52 · pre 207 meseci #15

Sve su to bili fizičari!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Konvergira, divergira? 17.10.2009. u 12:01 · pre 207 meseci #16

Ma, daj molim te.

Neki ljudi su se aktivno bavili matematikom, fizikom i astronomijom, kao na primer Gaus u Njutn, s tim što ej Gaus bio na prvom mestu matematičar, a Njutn na prvom mestu fizičar. Lajbnic se aktivno bavio matematikom i filozofijom. Za Gausa i Njutna se ne može reći da su bili fizičari koji su dali doprinos matematici, kao što se za Lajbnica ne može reći da je bio filozof koji je dao doprinos matematici.

Druga je stvar Furije, koji se nije bavio matematikom kao takvom, već fizikom, a unapredio je matematiku. On jeste bio fizičar koji je unapredio matematiku, ali tvrditi tako nešto za Gausa i njutna nije osnovano.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Konvergira, divergira? 17.10.2009. u 12:26 · pre 207 meseci #17

Njutn je došao do integrala jer mu je bilo potrebno da izračuna gravitaciono privlačenje 2 kugle. I Lajbnic i on su se bavili primenom diferencijalnog i integralnog računa u mehanici kao i kasnije Ojler, Hamilton i Lagranž. Sofija Kovalevska se isto tako bavila primenom u mehanici. Isto tako

$\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\int_{V} dVdiv\vec{E}$ - Gausov zakon

$\vec{E}$ - vektor električnog polja

Ne kažem svi oni su se bavili i matematikom. Ali su je primenjivali na konkretne probleme iz prirode, koju su pokušavali da objasne. I to ih čini fizičarima fizis=priroda.

Ima naravno i jako puno čistih matematičara u istoriji koji su dali ogroman doprinos kao npr. Evaris Galoa, Karl Vajerštras, David Hilbert... Ali diferencijalni i integralni račun su definitivno tvorevina fizičara.

Matematičari rade jedan sjajan posao, ja ne kažem to. Dovode mnogo stvari na svoje mesto, uopštavaju ih... dolaze do novih stvari...

Recimo način zapisivanja koji je mislim potekao od Vajerštrasa

$(\forall \epsilon>0)...$

i sve dalje urađeno u ovakvom zasnivanju matematičke teorije pripada naravno matematičarima, ali to što je Cabo naveo u prethodnoj poruci je definitivno delo fizičara.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Konvergira, divergira? 17.10.2009. u 12:54 · pre 207 meseci #18

Jesu li Njutnu trebali binomna formula i metod tangente za mehaniku? Ma, daj molim te, Njutn jeste bio na prvom mestu fizičar, ali se bavio i matematikom nezavisno od fizike, a ne samo za potrebe fizike. Što se diferencijalnog računa tiče, dok se Lajbnic bavio primenama, Njutn se bavio teološkim tumačenjima istog. Beskonačnost, pa Bog, pa sve na "B". Nađi mi u Njutnovoj mehanici (ona čuvena "Principia") izvod! Tamo je izveo zakon gravitacije iz Keplerovih zakona, bez diferencijalnog i integralnog računa.

A što se Gausa tiče, koji je na prvom mestu bio matematičar, ovo je tek smešno. Kakve veze ima konstruktibilnost pravilnih poligona lenjirom i šestarom sa mehanikom? Kakve veze ima teorija brojeva sa mehanikom?

Podvlačim, Gaus i Njutn su se bavili matematikom i nezavisno od fizike, za razliku od Furijea i Ajnštajna.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Konvergira, divergira? 17.10.2009. u 13:10 · pre 207 meseci #19

Citat:

Nedeljko: Jesu li Njutnu trebali binomna formula i metod tangente za mehaniku? Ma, daj molim te, Njutn jeste bio na prvom mestu fizičar, ali se bavio i matematikom nezavisno od fizike, a ne samo za potrebe fizike.

Odgovor je jesu!

Citat:

Nedeljko: Tamo je izveo zakon gravitacije iz Keplerovih zakona, bez diferencijalnog i integralnog računa.

Ne nalazi se sve u Njutnovom delu "Principia Mathematica Philosophia Naturalis". On je ovo delo napisao 1687., a umro je 1727.

Most modern historians believe that Newton and Leibniz developed infinitesimal calculus independently, using their own unique notations. According to Newton's inner circle, Newton had worked out his method years before Leibniz, yet (according to one view) he published almost nothing about it until 1693, and did not give a full account until 1704.

Integral mu je trebao za tretiranje gravitacionog privlačenja kugli. Za gravitaciono privlačenje 2 tačkaste mase mu nije trebao integral.

Citat:

Nedeljko:

A što se Gausa tiče, koji je na prvom mestu bio matematičar, ovo je tek smešno. Kakve veze ima konstruktibilnost pravilnih poligona lenjirom i šestarom sa mehanikom? Kakve veze ima teorija brojeva sa mehanikom?

Podvlačim, Gaus i Njutn su se bavili matematikom i nezavisno od fizike, za razliku od Furijea i Ajnštajna.

Slažem se za Gausa. Prihvatam. Ali on svakako nije ni rekao ono što je napisao Cabo.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Konvergira, divergira? 17.10.2009. u 13:56 · pre 207 meseci #20

Njutnov metod tangente nema nikakve veze sa fizikom. To je kao kada bi rekao da su algoritmi za sabiranje, oduzmanje i množenje fizički orjentisani zato što ih fizičari koriste prilikom računanja. To su opšte matematičke stvari.

Kada se kaže da je neki matematički doprinos delo fizičara, podrazumeva se da taj fizičar nije bio matematičar, što se za Njutna, a pogotovu Lajbnica, ne može reći. Zaboravio si na Lajbnicov metod određivanja lokalnih ekstremuma preko izvoda. Takođe, površine i zapremine su čisto matematički pojmovi, bez obzira što ih još poneko koristi.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme