Nacrtna geometrija

Nacrtna geometrija 12.08.2005. u 04:29 · pre 258 meseci #1

Da li neko ima iskustva sa nacrtnom muce me par kratkih pitanja iz
metode odstojanja i metode tragova i nedogleda?
poz

Re: Nacrtna geometrija 13.08.2005. u 22:04 · pre 258 meseci #2

Pitaj.

Re: Nacrtna geometrija 21.08.2005. u 00:24 · pre 258 meseci #3

Kasnim KPYU nisam imao uplaceno.
1. Konstrukcija petougla [odstojanja, data stranica ]
2. Visina pravog tetraedra [ odstojanja, stranica ]
3. Ugao izmedju dve prave [ te prave zadate ]
jer bi mogao sa ovim ...

Re: Nacrtna geometrija 25.08.2005. u 22:50 · pre 257 meseci #4

Svi ovi zadaci rade se na "isti" način, bilo da je reč o metodi normalne projekcije i odstojanja, metodi centralne projekcije ili metodi projektovanja na 2 ravni.

Daklem meta-objašnjenja:

1. Oboriš ravan u kojoj je 5-ugaonik, konstruišeš 5-ugaonik, vratiš ga na ravan.
2. Oboriš ravan u kojoj je osnova piramide, nađeš centar osnove, vratiš ga na projekciju, nađeš normalu, oboriš normalu nađeš pravu dužinu SV (S-centar baze, V-vrh piramide), dobiješ V, vratiš na normalu.
3. Ovaj je najjednostavniji po radu te, shodno tome, može da ima najkomplikovanije rešenje.
a) Ako se prave seku, određuju ravan. Oboriš ravan (i prave u njima) izmeriš ugao.
b) Ako su prave paralelne, ugao je 0
c) Ako su prave mimoilazne, konstruišeš ravan koja sadrži jednu od tih pravih, a paralelna je sa drugom. Uradiš normalnu projekciju druge prave na tu ravan, i oboriš ravan. Izmeriš ugao između prve prave i projekcije druge prave i gotovo.

Eh, sad...

Za izračunavanje prave dužine visine možeš koristiti bilo koji pravougli trougao iz piramide npr: $H^2=s^2-R_o^2$ gde je s - bočna ivica, R_o poluprečnik opisane kružnice oko baze (Ovo pod uslovom da su ti sve bočne ivice međusobno jednake). Mislim da ti govoriš o pravilnom jednakoivičnom tetraedru gde je $R_0=\frac{a\sqrt {3}}{3}\quad s=a$ U tom slučaju je $H=a\sqrt{\frac{2}{3}}$

Znači moramo da kostruišemo duž H ako znamo duž a. Uzećemo da je q=a, p=2a/3 (vidi sliku) (Ovo je pomoćna konstrukcija - radi se potpuno odvojeno od zadatka). Posle toga H možemo da koristimo dalje u zadatku.

Za konstruisanje pravilnog petougla ako nam je zadata stranica ima više računa. Ako bismo imali stranicu i poluprečnik opisanog kruga oko 5-ugla, stvar bi bila laka. Nanesemo šestarom dužinu stranice na krug iz poznatog temena i ... dobijemo novo teme. Teme po teme : 5 temena.
Kad bismo imali poluprečnik opisane kružnice... Ali znamo da važi $\frac{\frac{a}{2}}{R_o}=\cos \frac{\pi}{5}$ tj $R_o=\frac{a}{2 \cos \frac{\pi}{5}}$
Još samo da znamo taj ugao od 36 stepeni...Postoji dosta načina da ga konstruišemo.

Ako je $\alpha = \frac{2\pi}{5}$ vidimo da je
$\sin {2\alpha}=\sin {3\alpha} \quad \Leftrightarrow \quad 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=\sin{\alpha}(3\cos ^2 \alpha-\sin^2 \alpha)$ Na kraju dobijemo cos 36.

Ili prvo konstruišem 72, a pola od toga je 36.
No ipak ću ići računski, koristeći zanimljiv šablon.

$\cos \frac{\pi}{5}=\sqrt{\frac{1+\cos \frac{2\pi}{5}}{2}}$

A za 72 stepena...

Označiću sa $z=e^{\frac{2\pi}{5}i}$ . Sad je z⁵=1 tj

$(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0$
Znamo da $z\ne 1$ pa
$z^4+z^3+z^2+z+1=0 \quad \Leftrightarrow \quad z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1=0$ Smena $t=z+1/z$ de facto znači da je $t=2\cos{\frac{2\pi}{5}}$ Takođe je $t^2=z^2+2+\frac{1}{z^2}$ . Jednačina se sad svodi na
$t^2-2+t+1=0$ Dakle $t_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ , pa zato
$\cos{\frac{2\pi}{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
Stoga $\cos{\frac{\pi}{5}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{5}-1}{4}}{2}}=\dots =\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}$
Da bih izračunao $\sqrt{3+\sqrt{5}}$ obeležiću sa
a= $\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$
b= $\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$
Onda je $a^2=3+\sqrt{5}+2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}+3-\sqrt{5}=\dots=10$
$b^2=3+\sqrt{5}-2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}+3-\sqrt{5}=\dots=2$

Odatle
$\sqrt{10}=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$
$\sqrt{2}=\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$ , te najzad
$\sqrt{3+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}$

te $\cos{\frac{\pi}{5}}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

Na ovaj način možeš uprostiti mnoge iracionalne izraze

Ovo je ozbiljan zadatak za srednjoškolce, dok na fakultetu spada u poluozbiljne probleme. Naravno mogao si da znaš rešenje i samo da ga ubaciš.

Sad vidimo da je $R=a\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
Konstruiši prvo $a\frac{\sqrt{5}}{2}$ , pa onda i R.

PS Naravno da me mrzi da objašnjavam obaranje prave ili krive, kao i vraćanje iz oborenog u projektovani položaj. To je ipak ono što se prvo nauči.

geom sred.jpg3.68k

Re: Nacrtna geometrija 05.06.2009. u 21:08 · pre 211 meseci #5

Citat:

KPYU:
c) Ako su prave mimoilazne, konstruišeš ravan koja sadrži jednu od tih pravih, a paralelna je sa drugom. Uradiš normalnu projekciju druge prave na tu ravan, i oboriš ravan. Izmeriš ugao između prve prave i projekcije druge prave i gotovo.

Izvinjavam se što „iskopavam“ temu, ali i mene muči NG... kako se „normalno projektuje druga prava“ na ravan?

Treba da konstruišem projekciju normale između dve mimoilazne prave $p(p',P,A',OA_0)$ i $q(q',Q,B',OB_0)$ i odredim rastojanje između njih metodom odstojanja.

Re: Nacrtna geometrija 07.06.2009. u 20:01 · pre 211 meseci #6

Zaboravih da napomenem da mi odgovor treba hitno. :-{

Re: Nacrtna geometrija 26.06.2009. u 16:08 · pre 211 meseci #7

Ima li zainteresovanih da mi pomognu sa ovim zadatkom iz Nacrtne?

Re: Nacrtna geometrija 21.11.2011. u 11:54 · pre 181 mesec #8

Dakle metoda odstojanja je daleko prostija nego što izgleda. Ukoliko smo u domenu nacrtne geometrije treba to sve i nacrtati a to je daleko prostije nego što je ovde naznačeno.

Re: Nacrtna geometrija 21.11.2011. u 22:09 · pre 181 mesec #9

MEtoda odstojanja se sastoji u tome da prilikom crtanja imate samo jednu projekcionu ravan a to je horizontalnica. Isključena je frontalnica a umesto nje dobijate ODSTOJANAJ na liniji odstojanja. Veoma prosto. Postaviću jedan zadatak ovde čisto da psotoji i da imate bar neki ugled o tome.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme