Čudan slučaj sa imaginarnom jedinicom...

operacija korenovanja je definisana samo za >= 0 te je zabranjeno napisati da je i koren iz -1 , ali je -1= i na kvadrat tacno...

Potpis

Boba, the one and only himself!

!?

U ovom primeru nemamo takvo ograničenje!

1/i = z
1 = iz
1 = (1, 0); i = (0, 1); z = (x, y)

(1, 0) = (0, 1)(x, y)
(1, 0) = (0*x - 1*y, 0*y + 1*x)
(1, 0) = (-y, x)

y = -1; x = 0

z = (0, -1) = -(0, 1) = -i = 1/i

-------------------------------

z = r*e^(iα)

1/z = (1/r)*1/e^(iα) = (1/r)*e^(-iα) =
(1/r)( cos(-α) + i*sin(-α) ) = (1/r)( cosα - i*sinα )

z = i => r = 1, α = π/2

1/i = 1( cos(π/2) - i*sin(π/2) ) = -i

Aman ljudi, realan koren nije definisan u tački -1, a za kompleksan koren ne važi . Definišite korenu funkciju sa kojom radite, pa probajte da proterate izvođenje sa njom. Ako ne razumete matematiku, a zanima vas, to je rešiv prolem. Ne, ovde nije cilj to, već namerno pravljenje mistike niodčega.

Ovaj primer je svakako koristan da bi se videlo da baratanje matematikom bez razumevanja proizvodi besmislene rezultate.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

U čemu je problem? Ako je to reakcija na moj post onda sam zbunjen jer sam uveo pojam kompleksnog broja kao uredjen par, što je po mom mišljenju jedino ispravno. Sve što je potrebno je jasno definisano i nema zabune sa korenom jer √(-1) je priča za malu decu. Polje kompleksnih brojva se mora posmatrati u ravni da bi se stekla pravilna slika o rezultatima operacija nad kompleksnim brojevima. S druge strane polarno-eksponencijalna forma ekvivalentno definiše kompleksan broj u ravni.

Izvinjavam se, nisam ni čitao tvoj post, već sam samo primetio da se još raspravlja o nečemu što je razjašnjeno. Lepo sam napisao šta treba da definiše onaj ko pretenduje na ovakvo izvođenje kontradikcije. Mislim da kompleksni brojevi nisu problem, već korena funkcija.

Zapravo, pročitao sam ovo



Što se tiče tvog posta holononi, nije mi baš jasno šta je poenta.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Zašto je ZABRANJENO? Nisam navikao u matematici na zabrane već na objašnjenja.
Npr. SQR(-1) ima dva rešenja, i i(veznik) -i. Zašto je onda zabranjeno pisati SQR(-1)?

!?

Nije zabranjeno. Samo treba biti pažljiv pri korišćenju. Ako je SQR(.) operacija na skupu realnih brojeva tada SQR(-1) nije definisano. Medjutim ako neko hoće da kaže i = SQR(-1) tada mora biti jako oprezan. Kako sam već naveo ispravno je i = (0, 1). Tada se ne dolazi do netačnih tvrdjenja -1=1, 2i=0 i slično. Zašto do toga dolazi. Iz prostog razloga što "račundžija" "šeta" iz jednog polja u drugo. Kad mu odgovara koristi polje realnih brojeva i onda mirne savesti "ušeta" u polje kompleksnih brojeva pa tada dolazi do "čudnih slučajeva".

Da se podsetimo, (R, +, *) je polje realnih brojeva sa operacijma sabiranja i množenja kako smo inače navikli još iz osnovne škole. Medjutim struktura (R², +_C, *_C) je polje kompleksnih brojeva gde su operacije sabiranja i množenja definisane na sledeći način

(a, b) +_C (c, d) = (a+c, b+d)
(a, b) *_C (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

dok je nula data sa (0, 0), jedinica je (1, 0) a imaginarna jedinica i = (0, 1). Ako se još podsetimo da je -(a, b) = (-a, -b) dobili smo suprotni a može se definisati i inverzni element. U ovako definisanom polju kompleksnih brojeva nema zabune i ništa čudno sa korenom iz minus jedan.

√(-1) = z = r*e^iΦ
-1 = r²e^2iΦ
-1 = r²( cos(2Φ) + i*sin(2Φ) )
-1 = r²( cos(2Φ) + i*sin(2Φ) )
cos(π) = r²( cos(2Φ) + i*sin(2Φ) )

z1 = z2 <=> Re(z1) = Re(z2) i Im(z1)= Im(z2)

r=1

cos(π) = cos(2Φ) => π = 2Φ => Φ = π/2
0 = sin(2Φ) => 2Φ = π ili 2Φ = 0, odnosno Φ = π/2 ili Φ = 0
Φ nemože biti jednako nula jer tada ne bi važilo cos(π) = cos(2Φ), prema tome Φ = π/2. Dakle
√(-1) = e^iπ/2 = i

Kao što reče holononi, nije zabranjeno. Ali evo u čemu je kvaka.

U skupu realnih brojeva, je DOGOVORNO USVOJENA OZNAKA ZA POZITIVNU VREDNOST KORENA. Takav dogovor se može napraviti, jer zbog uređenja polja realnih brojeva uvek možemo nedvosmisleno odrediti šta je pozitivno, a šta negativno.

U skupu kompleksnih brojeva se NE MOŽE NAPRAVITI TAKAV DOGOVOR, jednostavno zato što, kao brojevi u ravni, kompleksni brojevi ne poznaju termine "pozitivno" i "negativno" - tj. nema uređenja. Stoga je samo KOMPAKTNA OZNAKA ZA SKUP OD DVA KOMPLEKSNA BROJA , tj. .

E sada, ta "dvogubost" kompleksnog korena mora se imati u vidu čak i ako potkorena veličina "liči" na realan broj, ali ga zapravo tretiraš kao kompleksan - evo šta hoću da kažem: kad napišeš , prvi član u nizu moraš tretirati kao KOMPLEKSAN broj, te ti se jednakost svodi na , što je svakako tačno.

Da li ti je sad jasnije?

Hmmm... Možda ipak možemo napraviti takav dogovor, pošto za bilo koji kompleksan broj z imamo dva korena:

sqr(z)= x+iy i takođe
sqr(z)= -x-iy= -(x+iy)

iz prostog razloga što je drugi koren uvek jednak prvom koji je pomnožen sa e**(i pi) = -1.

?

I za realan i za imaginaran deo kompleksnog broja vrlo dobro možemo utvrditi uređenje, pa samim tim imamo uređenje i za kompleksan broj koji oni grade?

Po tom rezonu, kako bi uporedio brojeve i ? I kako bi svaki od njih ponaosob uporedio s kompleksnim brojem ?

Prvi ima veći realni i manji imaginarni deo od drugog.
Analogno ide upoređenje ova dva sa trećim.

Ali mislim da nas to ne sprečava da pišemo
sqr(a)*sqr(b) = sqr(a*b)
a i b su kompleksni brojevi.

I kako taj (sasvim tačan) zaključak možeš iskoristiti da ih poređaš u neprestano rastući niz od negativne do pozitivne beskonačnosti, kao što možeš realne brojeve?

Ne možeš, pošto kod kompleksnih brojeva imaš "dva stepena slobode", koji te sprečavaju da ih potpuno urediš. MOŽEŠ urediti neke specijalne podskupove skupa kompleksnih brojeva - recimo, brojeve koji (geometrijski) leže na jednoj pravoj, ili na duži, ili na krivoj, ali kompletnu kompleksnu ravan ne možeš urediti.

Kao što rekoh, ništa te ne SPREČAVA da to napišeš, ali moraš paziti kako to TUMAČIŠ, a za tumačenje vidi onu moju gornju (dužu) poruku.

Kako bi uporedio dva pravougaonika?

U čemu je problem ako se napiše sqr(a)*sqr(b) = sqr(a*b)
još uvek ne vidim, daj neki primer?

pa već su poređani u ravni koju prave imaginarna i realna osa. Da mogu da se tretiraju kao realni brojevi, kompleksni brojevi nam ne bi ni trebali, zar ne?

Sad ću nakratko da privatizujem ovaj forum: Ko boga te molim, nemoj me s pitanjima tipa "kako bi uradio nešto za šta trenutno važeća matematika kaže da se ne može ni definisati, a kamoli uraditi". Još se oporavljam od galet@worldovog slučaja.



Ili ne razumeš srpski jezik, ili se praviš blesav. Dvaput sam rekao da to MOŽE da se piše, ali da NE MOŽE DA SE TUMAČI ONAKO KAKO SE TUMAČI U SKUPU REALNIH BROJEVA, NEGO ONAKO KAKO MORA DA SE TUMAČI U SKUPU KOMPLEKSNIH BROJEVA. Ti to prihvati ili nemoj, tvoja volja, a ja više neću ponavljati.

Dobro, i recimo da se dva korena nekog kompleksnog broja odnose baš ovako (jedan ima veći realni a manji imaginarni deo od drugog). Kojeg od njih bi (dogovorno) proglasio za vrednost ?

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.