Odredjeni integral dx/x^4 + 1

Odredjeni integral dx/x^4 + 1 13.05.2009. u 12:15 · pre 212 meseci #1

Da li neko mozda zna nacin na koji bi ovaj integral mogao da se resi? E da integral je od 0 do beskonacno.

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 13.05.2009. u 13:14 · pre 212 meseci #2

X^4 + 1 = (X^2 + 1)^2 - 2*X^2 = razlika kvadrata....

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 13.05.2009. u 13:18 · pre 212 meseci #3

Faktorizuj

$x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$

i reši stavljanjem

$\frac{1}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1$

Potpis

#define TRUE FALSE /*Happy debugging suckers*/

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 13.05.2009. u 13:33 · pre 212 meseci #4

Sve je to ok, resio sam ja integral kao neodredjeni i imam resenje u koje ne mogu da se ubace granice od 0 do beskonacno, jer dobijam +besk. i -besk.

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 13.05.2009. u 13:58 · pre 212 meseci #5

Nešto si pogrešio. Diferenciraj tvoje rešenje i vidi da li dobijaš početni integral.

Potpis

#define TRUE FALSE /*Happy debugging suckers*/

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 13.05.2009. u 14:09 · pre 212 meseci #6

Izraunaj određeni integral od a do b, pa onda pisti da a i be teže -oo i +oo tim redom.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 13.05.2009. u 15:38 · pre 212 meseci #7

U principu (ne udubljujući se u ovaj konkretan problem) ne možeš da rešavaš određene integrale tako što rešiš neodređeni i onda samo „ubaciš“ granice. Može se desiti da smena nije monotona na intervalu integracije, i ne može da se primeni direktno, već se interval integracije mora podeliti na podintervale na kojima je smena monotona. Takođe, smena mora biti diferencijabilna na intervalu integracije.

Kod Merklea ima par primera kako se dobija pogrešno rešenje ako se ne pazi na monotonost. Možda ću kad dođem kući prekucati neki radi demonstracije, trenutno sam na fakultetu.

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 13.05.2009. u 17:28 · pre 212 meseci #8

Nema potrebe za tim komplikacijama. Ovaj integral je za $x\rightarrow\infty$ , $\sim\frac{1}{x^3}+C$ tako da nema nikakvih problema da se $\infty$ zameni kao granica. Pošto smo mu postupak dali, negde je zabrljao u računu.

Potpis

#define TRUE FALSE /*Happy debugging suckers*/

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 13.05.2009. u 19:20 · pre 212 meseci #9

Citat:

boro1984: Da li neko mozda zna nacin na koji bi ovaj integral mogao da se resi? E da integral je od 0 do beskonacno.

Neprave integrale resavas kao odredjene integrale, pa zatim trazis limes.
U principu to je napisano i u prethodnim postovima a ja samo da dodam:
$\int\limits_0^\infty {\frac{{dx}}{{x^4 + 1}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \int\limits_0^t {\frac{{dx}}{{x^4 + 1}}}$

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 13.05.2009. u 23:11 · pre 212 meseci #10

Evo jednog lepog primera da ne može baš uvek da se radi $\int_a^bF(x)\,\hbox{d}x=\Bigl(\int F(\varphi(t))\varphi'(t)\,\hbox{d}t\Bigr)\Big|_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)}$ :

792. Da li je ispravan sledeći postupak: smenom $\sin x=t$ , $\hbox{d}t/\hbox{d}x=\sqrt{1-t^2}$ , dobijamo
$\int_0^{5\pi/6}\sin x\,\hbox{d}x=\int_0^{1/2}\frac{t\,\hbox{d}t}{\sqrt{1-t^2}}=-\sqrt{1-t^2}\Big|_0^{1/2}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}?$

Rešenje. Postupak nije ispravan, jer se uzima da je $\hbox{d}t/\hbox{d}x=\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}$ na celom domenu integracije, što nije tačno u ovom slučaju. Osnovna greška je u tome što funkcija $x\mapsto\sin x$ nije monotona na $[0, 5\pi/6]$ , pa se smena $\sin x=t$ ne može upotrebiti.

[Ovo je označeno „obrnutim uzvičnikom“, što predstavlja „klizav teren“ kod Merklea. ]

Navedena smena može se uvesti na sledeći način:
$\input amstex \def\dd{\,\hbox{d}} $$\aligned \int_0^{5\pi/6}\sin x\dd x&=\int_0^{\pi/2}\sin x\dd x+\int_{\pi/2}^{5\pi/6}\sin x\dd x=\int_0^1\frac{t\dd t}{\sqrt{1-t^2}}-\int_1^{1/2}\frac{t\dd t}{\sqrt{1-t^2}}=\cr &=-\sqrt{1-t^2}\Big|_0^1+\sqrt{1-t^2}\Big|_1^{1/2}=1+\frac{\sqrt{3}}{2}. \endaligned$$ \bye$

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 14.05.2009. u 10:59 · pre 212 meseci #11

Ovo je konacno resenje neodredjenog integrala:

znaci ovde ne mogu uvrstiti granice od 0 do besk.?

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 14.05.2009. u 11:44 · pre 212 meseci #12

Citat:

Cabo: Evo jednog lepog primera da ne može baš uvek da se radi $\int_a^bF(x)\,\hbox{d}x=\Bigl(\int F(\varphi(t))\varphi'(t)\,\hbox{d}t\Bigr)\Big|_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)}$

Upotrebio si oznaku $\varphi^{-1}$ , odakle sledi da je $\varphi$ inverzibilna funkcija, tako da nikakav primer sa neinverzibilnom funkcijom zapravo nije kontraprimer.

U primeru koji si naveo se koristi arkus sinus, koji jednostavno nije inverzna funkcija sinusu, jer sinus zapravo i nema inverznu funkciju. Inverzna funkcija arkus sinusu je restrikcija sinusa na interval $[-\pi/2,\pi/2]$ , a to nije podintegralna funkcija, jer se integracija vrši van tog domena. Smatram da je ovo najispravnije tumačenje tog primera.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 14.05.2009. u 14:14 · pre 212 meseci #13

Može + beskonačno pod limesom. Pre toga spoji ovu razliku logaritama u logaritam količnika. arctg od +beskonačno teži ka pi/2.

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 14.05.2009. u 14:19 · pre 212 meseci #14

Što smena mora da bude monotona na intervalu integracije?

Da bi imala inverznu f-ju.

Nedeljkovo objašnjenje je maximalno korektno.

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 14.05.2009. u 18:12 · pre 212 meseci #15

Citat:

Nedeljko: Upotrebio si oznaku $\varphi^{-1}$ , odakle sledi da je $\varphi$ inverzibilna funkcija, tako da nikakav primer sa neinverzibilnom funkcijom zapravo nije kontraprimer.

Dobro. Onda $\tau^{-1}(a)$ , gde je ${}\tau{}$ restrikcija od $\varphi$ na neki interval $[a, m]$ , i $\sigma^{-1}(b)$ , gde je $\sigma$ restrikcija od $\varphi$ na interval $[n, b]$ , gde je $a<m<n<b$ , i $\Big|_{\tau^{-1}(a)}^{\sigma^{-1}(b)}$ . Na to sam mislio. To je pogrešno. U redu?

Citat:

Nedeljko:
U primeru koji si naveo se koristi arkus sinus, koji jednostavno nije inverzna funkcija sinusu, jer sinus zapravo i nema inverznu funkciju. Inverzna funkcija arkus sinusu je restrikcija sinusa na interval $[-\pi/2,\pi/2]$ , a to nije podintegralna funkcija, jer se integracija vrši van tog domena. Smatram da je ovo najispravnije tumačenje tog primera.

Sinus ima inverznu funkciju na poddomenu na kom je monoton, na primer na $[-\pi/2,\pi/2]$ . Upravo i jeste poenta u tome da se uoči da podintegralna funkcija „šeta“, da nije monotona, pa se za dve vrednosti $x$ -a može dobiti ista vrednost $y$ -a.

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 14.05.2009. u 19:37 · pre 212 meseci #16

Citat:

boro1984:
znaci ovde ne mogu uvrstiti granice od 0 do besk.?

Prepiši razliku logaritama kao logaritam količnika i videćeš da taj član u $\infty$ postaje 0 tako da ti ostaju samo arkustangensi koji će ti dati po $\frac{\pi}{2}$ .

Potpis

#define TRUE FALSE /*Happy debugging suckers*/

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 15.05.2009. u 02:26 · pre 212 meseci #17

$\int _0^\infty { {dx} \over {1 + x^4} } = {{1}\over 4} \int _0^\infty { {t^{-3/4}} \over {1 + t} }dt } = {{1}\over 4} B({{1}\over 4},1-{{1}\over 4} ) = {{1}\over 4} \Gamma ({{3}\over 4} ) \Gamma ({{1}\over 4} ) = {{\pi}\over{2 \sqrt {2}}}$

Re: Odredjeni integral dx/x^4 + 1 15.05.2009. u 10:16 · pre 212 meseci #18

Hvala svima, integral je resen! :-)

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme