Fibonacci-jev niz

Fibonacci-jev niz 24.04.2009. u 22:27 · pre 213 meseci #1

Dat je fibonacci-jev niz $\sum_{k=0}^\infty{F_{k}}$

Treba pokazati da je $F_{k+1}^2 - F_{k}^2 = F_{k-1} F_{k+2} ~~ (za ~ k \geq 2)$

Pomoc?

**Hvala Igore, ispravljeno

Re: Fibonacci-jev niz 25.04.2009. u 00:11 · pre 213 meseci #2

Pogledaj http://www.fsb.hr/matematika/download/ZS_fibonaccijev_niz.pdf mislim da ce ti ono sto procitas biti dovoljno da resis zadatak.
A pogledaj i http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html mada mislim da skoro sve imas i u prvom dokumentu.

Re: Fibonacci-jev niz 25.04.2009. u 13:25 · pre 213 meseci #3

I pogresno postavljen zadatak.

Prvi clan ima index k+1.

Re: Fibonacci-jev niz 25.04.2009. u 14:43 · pre 213 meseci #4

Bazni slucaj:
$k=2 ~~ F_{2+1}^2 - F_{2}^2 = F_{2-1} F_{2+2} \\ 2^2-1^2=1*3 \\ 4-1=3 \\ 3=3$

Kako ovo dokazati za k+1?

Re: Fibonacci-jev niz 25.04.2009. u 17:24 · pre 213 meseci #5

Hint:

svedi sve sabirke na indekse k i k-1.

Re: Fibonacci-jev niz 30.04.2009. u 21:43 · pre 213 meseci #6

OK. Za k+1:

$F_{k+2}^{2} - F_{k+1}^{2} = F_{k} \cdot F_{k+3} \\ F_{k+1}^{2} + F_{k-1}^{2} = F_{k} \cdot (F_{k+2} + F_{k+1}) \\ F_{k}^{2} + F_{k-1}^{2} + F_{k-1}^{2} = F_{k} \cdot (F_{k} + F_{k-1} + F_{k} + F_{k} + F_{k-1}) \\ F_{k}^{2} + 2F_{k-1}^{2} = F_{k} \cdot (3F_{k} + 2F_{k-1} ) \\$

Evo, k i k-1. Radio sam i dalje od ovoga ali se izgubim, nikako ne mogu da dodjem do dokaza. Jel moze jos neki hint, pa da nastavim dalje?
Hvala

Re: Fibonacci-jev niz 13.05.2009. u 19:31 · pre 212 meseci #7

Citat:

plotter: .... Jel moze jos neki hint, pa da nastavim dalje?

Nisam pratio ovu temu (rekoh bice ono dovoljno), ali ako sada nije kasno evo kako bi ja to:
$\begin{array}{l} F_{n + 1}^2 - F_n^2 = \left( {F_{n + 1}^{} - F_n^{} } \right)\left( {F_{n + 1}^{} + F_n^{} } \right) \\ - - - - - - - - - - - - - - - - - - \\ F_3 = F_1 + F_2 \\ F_4 = F_2 + F_3 \\ F_5 = F_3 + F_4 \\ \vdots \\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ F_{n + 2} = F_n + F_{n + 1} \,za\,n \ge 1 \Rightarrow F_{n + 2} = F_n + F_{n + 1} \\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ F_{n + 1} = F_{n - 1} + F_n \,za\,n \ge 2 \Rightarrow F_{n - 1} = F_{n + 1} - F_n \\ \\ F_{n + 1}^2 - F_n^2 = \left( {F_{n + 1}^{} - F_n^{} } \right)\left( {F_{n + 1}^{} + F_n^{} } \right) = F_{n + 2} F_{n - 1} \,za\,n \ge 2 \\ \end{array}$

Ako ti treba nesto opsirnije u vezi Fibonacijevih brojeva, javi se na PM, imam finu knjigu (na engleskom)

Re: Fibonacci-jev niz 16.05.2009. u 16:27 · pre 212 meseci #8

F(k+1)² - F(k)² =
( F(k+1) - F(k) )( F(k+1) + F(k) ) =
( F(k-1) + F(k) - F(k) )F(k+2) =
F(k-1) F(k+2)

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme