Voleo bih da malo prodiskutujemo

Voleo bih da malo prodiskutujemo 01.11.2008. u 14:13 · pre 219 meseci #1

1.) Hamiltonijan sistema se moze predstaviti u obliku $H=\sum^N_{i=1}H(\vec{q_i},\vec{p_i})$ . Neka se cestice krecu slobodno unutar zapremine $V$ . Pokazati da se bez obzira na oblik kineticke energije dobija jednacina stanja idealnog gasa. Pretpostaviti da je Hamiltonijan separabilan.
RES:
Zar nisam vec ovde pretpostavio da mi je Hamiltonijan separabilan $H=\sum^N_{i=1}H(\vec{q_i},\vec{p_i})$ ?
Hamiltonijan zbog separabilnosti mogu napisati kao
$H(\vec{q_1},\vec{p_1})=T(\vec{p_1})+U(\vec{q_1})$

Posto cestice neinteraguju $U(\vec{q_1})=0, q_1\in V; \infty$ inace.
Ovaj rezon po meni sledi jer je u pitanju sistem neinteragujucih cestica, a cestice ne mogu napustiti oblast $V$ .

Iz svega ovoga zaista se posle kraceg racuna dobija $pV=N\Theta$ , gde je $\Theta=k_BT$ .

Ja sam pre ovoga mislio da bi oblik kineticke energije morao biti kvadratna fja impulsa da bi se dobila jna stanja idealnog gasa. Moze li neki komentar?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Voleo bih da malo prodiskutujemo 01.11.2008. u 14:36 · pre 219 meseci #2

I jos nesto ako imam

$Q(\Theta,N,V)=\frac{V^N}{h^{3N}N!}[\frac{4\pi}{l}\Gamma(\frac{3}{l})(\frac{\Theta}{a})^{\frac{3}{l}}]^N$ kako da izracunam entropiju? $a,l$ su pozitivne konstante. $Q$ je statisticki integral za kanonski ansambl.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Voleo bih da malo prodiskutujemo 08.11.2008. u 15:26 · pre 218 meseci #3

Da ne bih otvarao novu temu voleo bih da postavim jos jedn kratko pitanje ovde! Nije mi jasno otkuda sledeci naziv?

Kod velikog kanonskog ansambla imamo da je

$\sum_{N}\int f_N(p,q)d\Gamma=1$

Kad se ubaci

$f_N(p,q)=\frac{1}{Z(\Theta,\mu,V)}e^{-\frac{H(p,q)-\mu N}{\Theta}}$

u gornji izraz dobija se

$Z(\Theta,\mu,V)=\sum_N Q_N\lambda^N$

gde je $Q_N$ statisticki integral za kanonski ansambl, a $\lambda=e^{\frac{\mu}{\Theta}}$ naziva se apsolutna aktivnost. Odakle ovaj naziv?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Voleo bih da malo prodiskutujemo 08.11.2008. u 17:46 · pre 218 meseci #4

Citat:

petarm:Zar nisam vec ovde pretpostavio da mi je Hamiltonijan separabilan $H=\sum^N_{i=1}H(\vec{q_i},\vec{p_i})$ ?

Ne, tu si samo konstatovao da je Hamiltonijan aditivan.

Citat:

petarm:Hamiltonijan zbog separabilnosti mogu napisati kao
$H(\vec{q_1},\vec{p_1})=T(\vec{p_1})+U(\vec{q_1})$

E, ovde koristiš separabilnost hamiltonijana, tj. razdvojivost zavisnosti od impulsa i koordinate.

Citat:

petarm:Ja sam pre ovoga mislio da bi oblik kineticke energije morao biti kvadratna fja impulsa da bi se dobila jna stanja idealnog gasa. Moze li neki komentar?

U opštem slučaju je kinetička energija neka opšta kvadratna forma po impulsima

$T=\sum_{ij} A_{ij}p_i p_j$

iliti u matričnoj formi

$T=p^\top A p$

gde je A neka simetrična matrica, tako da je particiona funkcija (statistički integral ili statistička suma)Z, posle trivijalne integracije po koordinatama

$Z=C \int\int\ldots\int dp_1 dp_2\ldots dp_n e^{-\beta \sum_{ij} A_{ij} p_i p_j}$

Sada možemo uvesti smenu $p_i'=\sum_{j}S_{ij}p_j$ , gde je S matrica kojom prelazimo u bazis u kome je matrica A dijagonalna, tj. $A'=SAS^{-1}$ je dijagonalno. Obrati pažnju da je kinetička energija skalar $T=p^\top Ap=p'^\top A'p'$ pri čemu izraz u primovanim impulsima ima formu $T=\sum_i A'_{ii}p_i'^2$ u kojoj je lako izvršiti integraciju. Ostaje nam samo još pitanje jakobijana, pošto smo, jelte, izvršili smenu promenljivih. Jakobijan je $J=\left|\frac{\partial p'_i}{\partial p_j}\right|=\left|S_{ij}\right|=|\det S|=1$ jer S predstavlja rotaciju u impulsnom prostoru, tako da se integral svodi na standardnu formu

$I=\int\int\ldots\int dp_1 dp_2\ldots dp_n e^{-\beta \sum_{ij} A_{i,j} p_i p_j}=\int\int\ldots\int dp_1' dp_2'\ldots dp_n' e^{-\beta \sum_{i} A_{ii}' p_i'^2}$

što u slučaju kada su važi $A_{ii}=a$ postaje standardno

$I=\left(\int dp e^{-\beta a p^2}\right)^n$

iz čega se dobija particiona funkcija koju si naveo, a iz nje jednačina stanja idealnog gasa. Integral nije problematično uraditi ni kada su $A_{ii}$ različiti samo treba pokazati da je generalizacija

$\int dx e^{-ax^2}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$

kada a unapredimo u simetričnu matricu A, a x u n-komponentni vektor

$\int\int\ldots\int dx_1 dx_2\ldots dx_n e^{-a x^\top A x}=\sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}}$

Probaj da pokažeš ovo poslednje za vežbu.

Citat:

petarm: I jos nesto ako imam

$Q(\Theta,N,V)=\frac{V^N}{h^{3N}N!}[\frac{4\pi}{l}\Gamma(\frac{3}{l})(\frac{\Theta}{a})^{\frac{3}{l}}]^N$ kako da izracunam entropiju? $a,l$ su pozitivne konstante. $Q$ je statisticki integral za kanonski ansambl.

$S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N}$

gde je, kao što pretpostavljam da znaš

$F=-kT \ln Z$ .

Citat:

petarm: Da ne bih otvarao novu temu voleo bih da postavim jos jedn kratko pitanje ovde! Nije mi jasno otkuda sledeci naziv?

Kod velikog kanonskog ansambla imamo da je

$\sum_{N}\int f_N(p,q)d\Gamma=1$

Kad se ubaci

$f_N(p,q)=\frac{1}{Z(\Theta,\mu,V)}e^{-\frac{H(p,q)-\mu N}{\Theta}}$

u gornji izraz dobija se

naziva se apsolutna aktivnost. Odakle ovaj naziv?

Prvo da je tebe pitam nešto po ne znam već koji put? Šta ti to kog đavola čitaš? Ne pitam te zbog sadržaja, već zbog terminologije i notacije kakvu nigde do sada nisam video. Mislim prvo da krenem od oznake Q za particionu funkciju (ili statistički integal, tj. sumu) koja je u internacionalnoj literaturi univerzalno obeležena sa Z i pod nazivom je partition function. Pa onda koristiš $\Theta=k_B T$ umesto univerzalnog $\beta=\frac{1}{k_B T}$ i na kraju koristiš izraz apsolutna aktivnost za nešto što svi zovu fugacitivnost, fugacitet (eng. fugacity). Mislim nije to strašno, jer sve je to ista fizika, ali postoje neke konvencije oko terminologije i notacije, a u našoj zemlji je ustaljena praksa da se univerzitetski profesori, pošto nisu sposobni da daju neki originalan doprinos, naprave pametni tako što samo izmisle neku svoju terminologiju i onda studentima u startu otežaju snalaženje u intenacionalnoj literaturi, koje se BTW, po mom mišljenju treba držati prilikom spremanja ispita. Nema razloga da mi izmišljamo toplu vodu kada postoje standardne knjige po kojima ceo svet uči. Meni se, npr. upravo iz tih razloga smučio ispit iz fizike molekula jer je profesor, umesto da preporuči standardnu literaturu, hteo da se napravi pametniji nego što jeste pa je izmislio neki svoj sistem notacije i termina i sve to stavio u užasnu knjigu iz koje nije bilo moguće učiti, a zbog totalno bezvezne notacije i terminologije mi je bilo teško da nađem ono što mi treba u u knjigama iz kojih je moguće naučiti i razumeti ono što mi treba za ispit.

Što se naziva tiče, njegova etimologija ima smisla, samo kada kažeš fugacitivnost. Evo pasusa iz Wikipedija, gde su boldovane reči iz kojih je jasno zašto se kaže fugacitivnost

Citat:

Fugacity is a measure of a chemical potential in the form of 'adjusted pressure.' It reflects the tendency of a substance to prefer one phase (liquid, solid, or gas) over another, and can be literally defined as “the tendency to flee or escape”. At a fixed temperature and pressure, a homogeneous substance will have a different fugacity for each phase. The phase with the lowest fugacity will be the most favorable, and will have the lowest Gibbs free energy.

Naziv potiče od latinskog glagola fugere koji znači bežati.

E da, moj 500-ti jubilarni post.

Re: Voleo bih da malo prodiskutujemo 08.11.2008. u 20:07 · pre 218 meseci #5

Pokusacu ovo da izvedem!

Citat:

tomkeus: Prvo da je tebe pitam nešto po ne znam već koji put? Šta ti to kog đavola čitaš? Ne pitam te zbog sadržaja, već zbog terminologije i notacije kakvu nigde do sada nisam video. Mislim prvo da krenem od oznake Q za particionu funkciju (ili statistički integal, tj. sumu) koja je u internacionalnoj literaturi univerzalno obeležena sa Z i pod nazivom je partition function.

Mi kazemo da je kod kanonskog ansambla Gibs postulirao

$f(p,q)=Q^{-1}(\Theta,N,V) e^{-\frac{H(p,q)}{\Theta}}$

gde je $Q(\Theta,N,V)$ statisticki integral (suma) kanonskog ansambla, a $\Theta=k_BT$ smo cak nazvali moduo kanonskog ansambla ako se ne varam?

A kazemo da je kod velikog kanonskog ansabla Gibs postulirao

$f_N(p,q)=Z^{-1}(\Theta,\mu,V)e^{-\frac{H(p,q)-\mu N}{\Theta}}$

gde je $Z(\Theta,\mu,V)$ statisticki integral (suma) velikog kanonskog ansambla

Citat:

tomkeus:Pa onda koristis $\Theta=k_BT$ umesto univerzalnog $\beta=\frac{1}{k_B T}$

U ovom mi se ne cini ipak neki preveliki problem! Inace mislim da smo sad kad smo poceli termodinamiku na vezbama rekli da entropiju mozemo definisati kao $dS=\frac{\delta Q}{T}$ i kao $dS=\frac{\delta Q}{\Theta}$ . To me je malko zbunilo...

Citat:

tomkeus: i na kraju koristiš izraz apsolutna aktivnost za nešto što svi zovu fugacitivnost, fugacitet (eng. fugacity). Mislim nije to strašno, jer sve je to ista fizika, ali postoje neke konvencije oko terminologije i notacije, a u našoj zemlji je ustaljena praksa da se univerzitetski profesori, pošto nisu sposobni da daju neki originalan doprinos, naprave pametni tako što samo izmisle neku svoju terminologiju i onda studentima u startu otežaju snalaženje u intenacionalnoj literaturi, koje se BTW, po mom mišljenju treba držati prilikom spremanja ispita.

Apsolutno se slazem! Ali se nista ja tu ne pitam...

Citat:

tomkeus: Naziv potiče od latinskog glagola fugere koji znači bežati.

E da, moj 500-ti jubilarni post.

Hvala. Puno si mi pomogao!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Voleo bih da malo prodiskutujemo 08.11.2008. u 20:39 · pre 218 meseci #6

Inace evo jednog primera...

primer
Pokazati da se statisticka suma VKA $Z$ jednoatomskog idealnog gasa moze predstaviti u obliku $Z=e^{\lambda f}$ gde je $f$ statisticka suma kanonskog ansambla na jednoj cestici.

res:

$Z=\sum_N Q_N\lambda^N$

Kad smo radili kanonski ansambl dobili smo da je

$Q_N=\frac{V^N}{h^{3N}N!}(2m\pi \Theta)^{\frac{3N}{2}}$

pa je

$f=\frac{V}{h^3}(2m\pi \Theta)^{\frac{3}{2}}$

odakle je

$Q_N=\frac{f^N}{N!}$

odakle je ocigledno

$Z=e^{\lambda f}$

Posto mi se pojavljuju 2 statisticke sume ne mogu obe pisati sa $Z$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Voleo bih da malo prodiskutujemo 12.11.2008. u 15:24 · pre 218 meseci #7

Naziv apsolutna aktivnost za $\lambda=e^{\frac{\mu}{\Theta}}$ kolko sam uspeo da saznam se koristi u hemiji. Mada zasto pojma nemam!Ako neko zna zasto bilo bi lepo kad bih se ukljucio i napisao! Ovaj naziv fugacitivnost mi ipak nije najjasniji. Ne mogu ovaj izraz da povezem za teznjom da cestice "vise vole" jednu fazu od druge! Odakle to? A sto se tice neke mere hemijskog potencijala zar to nije svaka fja $\varphi(\mu)$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Voleo bih da malo prodiskutujemo 15.11.2008. u 12:07 · pre 218 meseci #8

Ovo uvodi jos vise zabune! Nadam se da se vidi! Apsolutna aktivnost ima dimenziju koncentacije, a fugacitet pritiska! Knjiga "Osnovi fizicke hemije" dr Ivan Bajalovic.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

fugacitet 2.jpg317.62k

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme