Delta distribucija

Re: Delta distribucija 22.08.2008. u 18:13 · pre 221 mesec #21

Nije!

$\int\delta(x-y)F(x)=\int\delta(x-y)F(y)=F(y)\int\delta(x-y)=F(y)$

u jednom od postova sam objasnio kako sam dosao do ovog oblika! I sad uzmi da je $y=0$ i dobices kao rezultat $F(0)$ . A ako je ta fja $F$ npr. $e^x$ dobices kao rezultat $1$ . Tj. $\int^{\infty}_{-\infty}dx\delta(x)e^x=1\neq 0$ . Ja znam da ti mnogo robujes definicijama i teoremama i svakako jako puno stvari znas! Mozes li mi dati primer nekog svog rezultata u matematici? Posto si odavno zavrsio studije!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Delta distribucija 22.08.2008. u 18:22 · pre 221 mesec #22

Citat:

Nedeljko: Ne vidim tu nigde $f$ .

Pa i ne treba da ga vidis to je operator koji deluje na $f$

$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$ - necemo lutati po celoj matematici da bi mi ti pokazao da si formalno u pravu! Jer se ja s tim slazem! Ja hocu da ti kazem da ono sto sam ja napisao ce u praksi uvek raditi!

$\int_{-\infty}^{+\infty}dx\delta(x)\frac{1}{1+x^2}=1$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Delta distribucija 22.08.2008. u 20:05 · pre 221 mesec #23

Citat:

petarm: Nije!

Postoji li neki jači argument. Ako teoreme nisu, šta onda jeste?

Ako je $\delta_\varepsilon(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac 1\varepsilon, & |x|<\varepsilon/2,\vspace{0.5em}\\ 0, & |x|\geq\varepsilon/2, \end{array}\right.$ i $\displaystyle\delta=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0_+}\delta_\varepsilon$ (u prostoru funkcija), onda je svakako $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x)\,dx=0$ za ma koju funkciju $f:R\longrightarrow R$ , jer inače ne bi bilo potrebe za teorijom distribucija. Ako je limes uzet u prostoru distribucija, onda je rezultat Dirakova distribucija.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Delta distribucija 22.08.2008. u 20:41 · pre 221 mesec #24

Citat:

petarm: Ja znam da ti mnogo robujes definicijama i teoremama i svakako jako puno stvari znas!

Kao što rekoh, može se živeti i bez matematike. Može se zgrada sagraditi i na empirijskim znanjima i bez matematike, ali ako hoćeš da smanjiš eksperimentisanje i zasnuješ nešto na matematici, to ima smisla samo ako znaš da rezultat ima smisla, a matematički aparat ima smisla samo u kontekstu u kome je formulisan. Ti bi taj kontekst da zaobiđeš.

Citat:

petarm: Mozes li mi dati primer nekog svog rezultata u matematici?

Teško da mogu ako ti formalizam nije jača strana. Bio sam logičar. Evo nečega što je 100% moje:

http://www.elitesecurity.org/t320680-Paradoks-teoriji-skupova

No, ovo nećeš razumeti, ali nema veze. Evo čime sam se bavio kao student (mada je sve bilo poznato ranije):

1. Na drugoj godini studija sam našao originalne dokaze osnovne teoreme algebre i Stirlingove formule za gama funkciju.
2. Takođe na drugoj godini studija dokazao sam da neprebrojivi zatvoreni podskupovi skupa $R^n$ imaju moć kontinuuma (činjenica za koju nisam znao ranije).
3. Kao student treće godine dao sam brz dokaz da se intuicionistička iskazna logika zaista razlikuje od klasične (kasnije sam video da je iste tablice našao Gedel).
4. Kao student četvrte godine sam dao originalan dokaz kompletnosti jedne aksiomatizacije implikativnog fragmenta klasične iskazne logike.
5. Takođe kao student četvrte godine sam našao algebru (zajedno sa svim potrebnim algoritmima) za računanje sa algebarskim brojevima u apsolutnoj tačnosti u opštem slučaju (uključujući i odlučivanje da li dve reprezentacije određuju isti broj).

Ovo je nešto od onoga čega sam se setio. Kada budeš poslediplomac, možda budemo pričali o tome šta sam radio onda, ali se odavno ne bavim matematikom.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Delta distribucija 23.08.2008. u 12:03 · pre 221 mesec #25

Ja mogu da razumem ljude koji kažu da im matematika nije potrebna, ali mi nisu jasni oni koji kažu da im su im bitni račun i rezultat, ali da im je potpuno svejedno da li je rezultat tačan. OK, ako im je bitan samo neki rezultat, ali ne i tačnost istog, do njega se može doći i bez računa - odvali se neka cifra i gotovo!

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Delta distribucija 23.08.2008. u 12:25 · pre 221 mesec #26

Svaka cast! Ipak covek mora nekad da radi nesto na intuiciju!

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)f(x)\,dx=f(0)$

Kako bi po tebi mogao da se definise pojam integrala ovde ne bi li ovo bilo formalno dobro definisano!

Ja sam iskreno razmisljao o tome da pocnem da ucim ozbiljno teoriju distribucija, ali naisao sam na neke probleme!

Npr.

ZAD
Resiti stacionarnu Sredingerovu jednacinu za cesticu u potencijalu $V(x)=-\alpha\delta(x),\alpha>0$ . Kakav je spektar energije?

Ne znam kako bi se ovo moglo resiti primenom teorije distribucija?!

I jos nesto u fizici se $\delta$ cesto mora zbog nekih problema zapisati u obliku $\delta(x-x')=\int^{\infty}_{-\infty}e^{ik(x-x')}dk$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Delta distribucija 23.08.2008. u 13:35 · pre 221 mesec #27

Sta je jos problem u fizici! Ti zapravo kad resis problem opservable koordinate $\hat{x}$ dobijes $C\delta(x-\lambda)$ . A kako odredjujes $C$ ? Pa verovao ili ne u fizici se ovde primenjuje uslov normiranja gledajuci na $\delta$ distribuciju kao na fju.

$\int^{\infty}_{-\infty}dx\psi^*(x)\psi(x)=1$

S tim sto ovde ne normiramo na jedinicu vec kazemo da normiramo na $\delta$ -fju.

$|C|^2\int^{\infty}_{-\infty}dx\delta(x-\lambda)\delta(x-\lambda')=|C|^2\delta(\lambda-\lambda')=\delta(\lambda-\lambda')$

I onda biramo $C$ realno i pozitivno tj. uzimamo $C=1$ .

A u mnogim knjigama fizicari vole da kazu sto jos vise nervira matematicare $\delta$ -fja je parna funkcija!

$\delta(\lambda-\lambda')=\delta(\lambda'-\lambda)$

Dramski bi ovo zvucalo kao:"Matematicari fizicarima nikad nece moci da oproste $\delta$ -fju".

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Delta distribucija 23.08.2008. u 20:25 · pre 221 mesec #28

Citat:

petarm: ZAD
Resiti stacionarnu Sredingerovu jednacinu za cesticu u potencijalu $V(x)=-\alpha\delta(x),\alpha>0$ . Kakav je spektar energije?

Hajde, daj matematičku formulaciju toga da se sad ne zezam i sa kvantnom mehanikom.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Delta distribucija 25.08.2008. u 14:52 · pre 221 mesec #29

Stacionarna Sredingerova jna je zapravo svojstveni problem Hamiltonijana!

$\hat{H}\psi=E\psi$

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)-\alpha\delta(x)\psi(x)=E\psi(x)$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Delta distribucija 25.08.2008. u 15:25 · pre 221 mesec #30

Jos mi samo desifruj ovo $E$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Delta distribucija 25.08.2008. u 15:26 · pre 221 mesec #31

Energija=konstanta!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Delta distribucija 25.08.2008. u 15:32 · pre 221 mesec #32

Landau (dobitnik Nobelove nagrade za fiziku) u svom udzbeniku ''Nerelativisticka kvantna mehanika''-prevod s ruskog od strane Dragise Ivanovica:

$\delta(x)=0$ za $x\neq 0$ , $\delta(0)=\infty$

pri cemu je

$\int^{\infty}_{-\infty}\delta(x)dx=1$

Kao granice integraljenja mogu se napisati ma koje druge, medju kojima se nalazi tacka $x=0$ . Ako je $f(x)$ neka funkcija, koja je kontinualna za $x=0$ , onda je

$\int^{\infty}_{-\infty}\delta(x)f(x)dx=f(0)$

U opstijem slucaju ova formula se moze napisati ovako

$\int\delta(x-a)f(x)dx=f(a)$

gde oblast integracije sadrzi tacku $x=a$ , a $f(x)$ je neprekidno za $x=a$ .

Takodje je ocigledno da je $\delta$ -funkcija parna, tj.
$\delta(-x)=\delta(x)$

Najzad ako se napise

$\int^{\infty}_{-\infty}\delta(\alpha x)dx= \int^{\infty}_{-\infty}\delta(y)\frac{dy}{|\alpha|}=\frac{1}{|\alpha|}$

onda mozemo zakljuciti da je

$\delta(\alpha x)=\frac{1}{|\alpha|}\delta(x)$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Delta distribucija 26.08.2008. u 12:00 · pre 221 mesec #33

Ako ti nije tesko, raspisi mi svoje "intuitivno" resenje, pa da vidim kako da ga popravim ako treba. Mrzi me da sad resavam dif jne. Ako kao resenje dobijas $C^\infty$ resenje, onda bi trebalo da je OK.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Delta distribucija 26.08.2008. u 13:10 · pre 221 mesec #34

ZAD
Resiti stacionarnu Sredingerovu jednacinu za cesticu u potencijalu $V(x)=-\alpha\delta(x),\alpha>0$ . Kakav je spektar energije?

RES:

$\hat{H}\psi=E\psi$

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)-\alpha\delta(x)\psi(x)=E\psi(x)$

Prointegralimo jnu od $0^-$ do $0^+$

Za $E<0$ dobija se resenje:

$\psi(x)=A_1e^{-\xi x}+A_2e^{\xi x}, x<0$

$\psi(x)=B_1e^{-\xi x}+B_2e^{\xi x}, x\geq 0$

$\xi$ - konstanta

Za $E>0$ dobijaju se ravni talasi...

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Delta distribucija 26.08.2008. u 17:18 · pre 221 mesec #35

Moram priznati da nisam razumeo ideju. Moze li malo detaljnije?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Delta distribucija 26.08.2008. u 18:08 · pre 221 mesec #36

Dovedem Sredingerovu jnu u tzv. Sturm - Liuvilov oblik:

$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]\psi(x)=0$

Posmatram dve oblasti! Oblast $1$ mi je oblast za $x<0$ i oblast $2$ mi je oblast za $x\geq0$ . Na granici izmedju oblasti mi vazi neprekidnost talasne fje $\psi$ . Integraljenjem one jne iz mog prethodnog posta dobijas $\psi'(0^+)-\psi'(0^-)=-\frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi(0)$ . Ovaj uslov i uslov neprekidnosti talasne fje $\psi$ u fizici katkad zovemo i uslovi ''zasivanja''.

$1.$ Oblast
Sredingerova jna je

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)=E\psi(x)$

I slicno i za drugu oblast uz pomenute uslove! U problemu slobodne cestice $E>0$ . Zasto ja ovde diskutujem slucaj $E<0$ ? Pa verovatno ti se opet nece svideti!

U kvantnoj mehanici zapravo stoji uslov da energija cestice mora da bude veca od minimuma potencijala! A ovde je za mene minimum potencijala $-\infty$ jer sam definisao da mi $\delta$ -funkcija u nuli ima vrednost $\infty$ .

Nadam se da sam bio dovoljno detaljan?!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Delta distribucija 27.08.2008. u 10:35 · pre 221 mesec #37

Da, ovo ocigledno nema resenje u teoriji distribucija, ali to ne znaci da ne postoji matematicki aparat u kome se, sa stanovista fizike, ovo ne moze raditi korektno. O tome cu malo kasnije.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Delta distribucija 27.08.2008. u 12:07 · pre 221 mesec #38

Mozes fizicki da posmatras stvari ovako: Potencijal je skoncentrisan u nekoj maloj okolini nule i integral mu je jedinica (ali je beskonacno diferencijabilna funkcija). Ona potrazi rezultat tvog fizickog problema kao limes kada je ta okolina beskonacno mala.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Delta distribucija 27.08.2008. u 15:33 · pre 221 mesec #39

Ne vidim zasto bih to radio? Necu sebi da komplikujem zivot ako mi ovaj nacin radi i dobijam tacan rezultat! Da sve moze da se odradi preko teorije distribucija rekao bih OK. Ali ovako mislim da sve to matematicarsko "trazenje dlaka" nema smisla!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Delta distribucija 28.08.2008. u 09:45 · pre 221 mesec #40

Pa, upravo si sam dao odgovor:

Citat:

petarm: Necu sebi da komplikujem zivot ako mi ovaj nacin radi i dobijam tacan rezultat!

Sustina je u onom ako. Jer, ako znas da je rezultat tacan (sa stanovista tvoje primene), voleo bih da znam odakle to znas.

Citat:

petarm: Da sve moze da se odradi preko teorije distribucija rekao bih OK.

Ne postoji nijedna "svemoguca" naucna teorija. To je kako kada bi rekao: "Da moze sve da se odradi u jednoj fizickoj teoriji, rekao bih OK. Ovako je fizika gubljenje vremena.". No, sve probleme ove vrste razresava nestandardna analiza.

Mozes li mi reci kakvog fizickog smisla ima tackasti potencijal? Koliko mi je poznato, ako imas bilo koji izvor naelektrisanja, ceo prostor je ispunjen nekim neprekidnim potencijalom.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme