Dualni prostor pojasnjenje

Dualni prostor pojasnjenje 18.08.2008. u 02:10 · pre 221 meseci #1

Ponekad se trudim da shvatim neke stvari u matematici bez ucenja nekih teorema i dokaza! Bitna mi je predstava tih stvari. Mislim da mi to nije skroz poslo za rukom kad je rec o pojmu dualnog prostora! Dosad uvek kad sam radio s ovim stvarima u fizici dual sam posmatrao kao kompleksnu konjugaciju i tako to i tretirao! U fizici mi radimo sa ketovima i braovima od izraza bracket=zagrada poticu ovi termini!:) Ketovi $| >$ nam predstavljaju elemente nekog vektorskog prostora, a braovi $< |$ elemente iz njemu dualnog prostora. Ono sto sam prihvatio je da ako radim u $L^2$ prostoru $(L^2)'=L^2$ . $'$ mi je oznaka za dual i u tom slucaju je $< | >$ skalarni proizvod. U drugim slucajevima nekih $L^p$ prostora to bi bilo jednostavno neko dejstvo braova kao operatora na ketove! Ne razumem zasto ako smanjujem neki prostor njemu dualni prostor se povecava? To sam isto prihvatio! Voleo bih ako bi neko od vas mogao ovo da mi pojasni na jednostavan nacin bez nekog preteranog formalizma! Unapred hvala!

I dal ja mogu na primer da pridruzim kompl. broju $z=x+iy$ oznaku $|z>$ , a $z^*=x-iy$ oznaku $<z|$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dualni prostor pojasnjenje 18.08.2008. u 02:28 · pre 221 meseci #2

Mozda bih trebao jos da kazem u kom smislu ja posmatram sve to kao kompleksnu konjugaciju. Naime skalarni proizvod

$<\varphi|\psi>=\int dx\varphi^*(x)\psi(x)$
posto je $<\varphi|$ bra vektor ja sam izvrsio kompleksnu konjugaciju njega u def skalarnog proizvoda!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dualni prostor pojasnjenje 18.08.2008. u 20:29 · pre 221 meseci #3

Mislim da bi trebao da promeniš pristup učenju matematičkih aparata.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dualni prostor pojasnjenje 18.08.2008. u 21:00 · pre 221 meseci #4

Lako je to reci! Zapravo je prilicno tesko! Matematicari i fizicari razlicito tretiraju matematiku! Kod oscilovanja zice matematicar ispituje egzistenciju resenja, fizicar uzme zatrese zicu vidi da osciluje i kaze resenje postoji ajd da resim jednacinu! Oznake su najcesce skroz drugacije i nemam vremena da maltene nijednu matematicku knjigu citam od pocetka do kraja vec gledam delove koji su mi potrebni u datom trenutku! A u svakoj teoremi vidim pozivanje na 10 prethodnih pa ih onda najcesce ne ucim!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dualni prostor pojasnjenje 19.08.2008. u 10:54 · pre 221 meseci #5

Bez muke nema nauke. Čime se baviš? Jesi li student?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dualni prostor pojasnjenje 19.08.2008. u 11:03 · pre 221 meseci #6

Da! Treba da upisem cetvrtu godinu! Ako uspem da se uklopim ici cu da slusam Funkcionalnu analizu s matematicarima u sledecoj skolskoj godini!
Zamolio bih te ako mozes bar delimicno da odgovoris na moje pitanje od gore! Unapred hvala!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dualni prostor pojasnjenje 19.08.2008. u 11:49 · pre 221 meseci #7

Nisam previše upućen u formalizam koji koriste fizičari, ali ću pokušati da odgovorim onako kako sam ja razumeo stvari koje si napisao.

Dualni vektor Banahovog prostora $X$ je ništa drugo do ograničen antilinearan funkcional tog Banahovog prostora. Ako ga označiš sa $|\psi>$ (ili $\Psi$ ), onda je $<\varphi|\psi>$ vrednost tog funkcionala u tački $\varphi$ (odnosno $\Psi(\varphi)$ ).

E, sad, postoje teoreme o reprezentaciji dualnih vektora. Ako su $p,q>1$ takvi da je $\frac 1p+\frac 1q=1$ onda:

1. Za svaki dualni vektor $\Psi$ prostora $L^p$ postoji tačno jedan vektor $\psi$ prostora $L^q$ takav da je $\Psi(\varphi)=\int\varphi^*\psi d\mu$ za svako $\varphi\in L^p$ i pritom je $||\Psi||=||\psi||$ .
2. Za ma koji vektor $\psi\in L^q$ je sa $\Psi(\varphi)=\int\varphi^*\psi d\mu$ dobro definisan jedan dualni vektor prostora $L^p$ .
3. Ako se zbir duala definiše kao zbir funkcija, a množenje skalarom kao proizvod konjugata tog skalara i preslikavanja, onda je preslikavanje $\Psi\mapsto \psi$ linearno i bijektivno.

Iz ovih razloga se $\Psi$ i $\psi$ identifikuju.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dualni prostor pojasnjenje 19.08.2008. u 12:23 · pre 221 meseci #8

Hvala na odgovoru!

Citat:

Nedeljko:
Dualni vektor Banahovog prostora $X$ je ništa drugo do ograničen antilinearan funkcional tog Banahovog prostora. Ako ga označiš sa $|\psi>$ (ili $\Psi$ ), onda je $<\varphi|\psi>$ vrednost tog funkcionala u tački $\varphi$ (odnosno $\Psi(\varphi)$ ).

Ovde mislim da se nismo razumeli! Sta si ti oznacio sa $|\psi>$ ? $|\psi>$ je vektor iz Banahovog prostora, a $<\psi|$ iz njemu dualnog prostora! Oznaka $<|>$ nije isto sto i $<\delta,\varphi>=\varphi(0)$ ?

Citat:

Nedeljko:
E, sad, postoje teoreme o reprezentaciji dualnih vektora. Ako su $p,q>1$ takvi da je $\frac 1p+\frac 1q=1$ onda:

1. Za svaki dualni vektor $\Psi$ prostora $L^p$ postoji tačno jedan vektor $\psi$ prostora $L^q$ takav da je $\Psi(\varphi)=\int\varphi^*\psi d\mu$ za svako $\varphi\in L^p$ i pritom je $||\Psi||=||\psi||$ .
2. Za ma koji vektor $\psi\in L^q$ je sa $\Psi(\varphi)=\int\varphi^*\psi d\mu$ dobro definisan jedan dualni vektor prostora $L^p$ .
3. Ako se zbir duala definiše kao zbir funkcija, a množenje skalarom kao proizvod konjugata tog skalara i preslikavanja, onda je preslikavanje $\Psi\mapsto \psi$ linearno i bijektivno.

Iz ovih razloga se $\Psi$ i $\psi$ identifikuju.

Ovo sam video mada me je zbunilo jer sam nasao na jednom mestu $(L^1)'=(L^\infty)$ . $(L^\infty)' \neq L^1$ ?
$(L^2)'=L^2$
Kako bi ti prostim recimo objasnio koja je razlika izmedju $L^2$ i njegovog duala?
I zasto je $<\varphi|\psi>$ skalarni proizvod za $|\psi>,|\varphi> \in L^2$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dualni prostor pojasnjenje 19.08.2008. u 14:30 · pre 221 meseci #9

Citat:

petarm:
Kako bi ti prostim recimo objasnio koja je razlika izmedju $L^2$ i njegovog duala?

Da se ukljucim - vec od jucer ti zelim odgovoriti, ali me u potpunom objasnjenju zeza jedna stvar koju nikako da sebi objasnim pa sve odgadjam da napisem. Ali evo bar nesto, jer vidim da te muci.
Tebe najvise zeza to sto ti se sva prica oko duala svodi na kompleksnu konjugaciju. Ovo bi ti trebalo pomoci: dualni prostor nekog prostora E je prostor svih funkcionala koji djeluju na njemu.

Detaljnije:
Neka imamo prostor svih ketova, nazovimo ga E.
Polje pridruzeno tom prostoru u kvantnoj je C (kompleksni brojevi).
Svaki operator f:E->C zovemo funkcional (dakle vrijednosti su mu kompleksni brojevi)
I sad imamo - dualni prostor prostora E je prostor svih funkcionala koji djeluju na E.
Znaci, dualni prostor prostora $L^2$ je jednostavno skup svih funkcionala koji djeluju na njemu, a kakve to ima veze s kompleksnom konjugacijom na koju si navikao bit ce jasno nadam se do kraja :)

Citat:

I zasto je $<\varphi|\psi>$ skalarni proizvod za $|\psi>,|\varphi> \in L^2$ ?

To je oznaka za skalarni proizvod u diracovoj notaciji. Dakle $<\varphi|\psi>$ je isto sto i ( $|\varphi>,|\psi>$ ) (skalarni produkt dvaju ketova).

E sad kako odjednom ket postao bra?

Zato sto svakom ketu $|\varphi>$ iz L^2 mozemo pridruziti funkcional (bra) $<\varphi|$ iz dualnog prostora od L^2 na sljedeci nacin:
neka rezultat djelovanja tog funkcionala $<\varphi|$ na bilo koji $<\psi| \in L^2$ bude nista drugo nego skalarni produkt $(|\varphi>,|\psi>) \in C$ .
Znaci $<\varphi| (|\psi>)= (|\varphi>,|\psi>) = dirac notacija = <\varphi|\psi>$

E sad kako je ovo pridruzivanje ketova braovima antilinearno, to $a|\varphi>$ pridruzujemo $a'<\varphi|$ (sa a' sam oznacio konjugirani a iz C)

Zato se braovi (elementi dualnog prostora) tehnicki nalaze tako da jednostavno konjugiramo ket koji smo mu pridruzili.
U matricnoj notaciji, gdje ketove reprezentiramo matricama-colonama, jos trebamo pridruzeni bra transponirati, da bismo ih uopce mogli matricno pomnoziti (jer produkt dviju matrica-kolona nije definiran).

..............
Ono sto si jos u prvom postu pitao zasto je, ako uzimamo podskupove prostora, njihov odgovarajuci dual "veci", cu pokusati otipkati kasnije, naravno ako te to jos uvijek zanima :)

Potpis

while(sleeping) cat_wails(); wake_up(); for(int i=0;i<9;i++) shoot_cat(); rejoice();
goto(bed);

Re: Dualni prostor pojasnjenje 19.08.2008. u 16:18 · pre 221 meseci #10

@Zbunilo me je to sto si napisao da je $<\varphi|\psi>$ antiilinearan po prvom argumentu, a linearan po prvom, pa sam mislio da fizicarima dualni vektori odgovaraju antilinearnim funkcionalima, a ne linearnim kao u matematici. No, posle tvog poslednjeg posta su mi stvari jasnbije..

Znaci, bra vektor $<\varphi|$ Banahovog prostora $X$ je pridruzivanje svakom ketu, tj. vektoru $|\psi>$ po tacno jednog skalara u oznaci $<\varphi|\psi>$ tako da vazi:

1. $<\varphi|\lambda_1\psi_1+\lambda_2\psi_2>=\lambda_1<\varphi|\psi_1>+\lambda_2<\varphi|\psi_2>$ (linearnost),
2. $||<\varphi|\,||:=\sup_{||\,|\psi>||=1}|<\varphi|\psi>|\,<+\infty$ (ogranicenost).

Zbir dualnih vektora $<\varphi_1|$ i $<\varphi_2|$ definisemo kao dualni vektor u oznaci $<\varphi_1+\varphi_2|$ definisan sa

$<\varphi_1+\varphi_2|\psi>=<\varphi_1|\psi>+<\varphi_2|\psi>$

Pritom je $||<\varphi_1+\varphi_2|\,||\leq||<\varphi_1|\,||+||<\varphi_2|\,||$ . Proizvod skalara $\lambda$ i dualnog vektora $<\varphi|$ u oznaci $<\lambda\varphi|$ definise se sa

$<\lambda\varphi|\psi>=\bar\lambda<\varphi|\psi>$ .

E, sad se vrati na teoreme o reprezentaciji ogranicenog linearnog funkcionala (ili dualnog vektora), pa pitaj sta ti ne bude jasno.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dualni prostor pojasnjenje 19.08.2008. u 16:57 · pre 221 meseci #11

@Mlatko

Pozdrav pre svega! Mene zapravo najvise zanima zasto je to skalarni proizvod bas za $|\varphi>,|\psi> \in L^2$ ?

@Mlatko
dualni prostor nekog prostora E je prostor svih funkcionala koji djeluju na njemu.

Ovde je meni problematicno zato sto je taj skup funkcionala bas $<\varphi_{i}|$ a to su neki vektori iz dualnog prostora! Ako posmatram samo jedan taj bra kako ja da zakljucim tu pricu o funkcionalima!

Jer zapravo u $L^2$ imamo sledecu pricu

$<\varphi| |\psi>$ = dejstvo funkcionala na $|\psi>$ a ovo je bas skalarni proizvod u slucaju $\psi \in L^2$

@Mlatko
Ono sto si jos u prvom postu pitao zasto je, ako uzimamo podskupove prostora, njihov odgovarajuci dual "veci", cu pokusati otipkati kasnije, naravno ako te to jos uvijek zanima

Da zanima me prica! Video sam primere kako ti suzavanjem nekog prostora i odlazeci u dual tog manjeg prostora mozes dobiti svoju vrednost u nuli, ali zanima me sustinski zasto!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dualni prostor pojasnjenje 19.08.2008. u 19:53 · pre 221 meseci #12

Citat:

Mlatko: I sad imamo - dualni prostor prostora E je prostor svih funkcionala koji djeluju na E.

Linearnih i ograničenih funkcionala.

@petarm

Ako dozvoliš, mogao bih na ponešto da odgovorim.

Neka $\varphi\in L^q$ . Funkcional

$F(\psi)=\int\varphi^*\psi d\mu$

na prostoru $L^p$ je dobro defionisan, linearan i ograničen (pri čemu je $||F||=||\varphi||$ ). Za različite $\varphi\in L^q$ se uvek dobijaju različiti funkcionali i svaki linearni ograničeni funkcional je tog oblika (za neko $\varphi\in L^q$ ). Zbog toga se umesto $F$ piše $<\varphi|$ , a umesto $F(\psi)$ se piše $<\varphi|\psi>$ . E, sad, po analogiji fizičari vole da umesto $\psi$ pišu $|\psi>$ . U svakom slučaju, iz ovih definicija se dobija da je

$<\varphi|\psi>=<\varphi|(\psi)=<\varphi|(|\psi>)=\int\varphi^*\psi d\mu=(\varphi,\psi)$ .

Naravno, ovo poslednje za $p=q=2$ . Da li sada razlikuješ teoreme od definicija i da li je ovo bar malo pomoglo?

Citat:

petarm: Ono sto si jos u prvom postu pitao zasto je, ako uzimamo podskupove prostora, njihov odgovarajuci dual "veci", cu pokusati otipkati kasnije, naravno ako te to jos uvijek zanima :)

Ma da nisu u pitanju količnički prostori i njihovi duali?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dualni prostor pojasnjenje 19.08.2008. u 23:07 · pre 221 meseci #13

Ovo je dosta pomoglo! Hvala puno!

Citat:

Nedeljko: Ma da nisu u pitanju količnički prostori i njihovi duali?

Ne zapravo sam mislio na sledecu stvar! Ti imas korespodenciju kad radis u $L^2$ da imas braova $< |$ kolko imas i ketova $| >$ .

Posmatrajmo na primer Svarcov prostor $\mathcal{D}$ . O njemu smo vec diskutovali! $\mathcal{D}\subset L^2$ . A vazi $\mathcal{D}^{'} \supset L^2$ . Da li se moze ovo nekako intuitivno zakljuciti? I da li ovo mogu posmatrati kao slucaj imam vise braova $< |$ nego ketova $| >$ ? E sad nisam bas siguran kako ti definises kolicnicki prostor?!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dualni prostor pojasnjenje 19.08.2008. u 23:11 · pre 221 meseci #14

Ja to ovako zamisljam!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

untitled.bmp576.05k

Re: Dualni prostor pojasnjenje 20.08.2008. u 09:34 · pre 221 meseci #15

Sa Švarcovim prostorom budi oprezan. Jeste ${\cal D}\subset L^2$ , ali da bi to bio potprostor, mora mu nasleđivati strukturu. OK, on jeste njegov vektorski potprostor, ali u definiciji (neprekidnog) duala figuriše i norma. Švarcov prostor nije normirani prostor. Priseti se kako je uvedena konvergencija u njemu. Lakše je zadovoljiti uslov neprekidnosti pod jačim pretpostavkama. Zato je $D'\supset (L^2)'$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dualni prostor pojasnjenje 20.08.2008. u 09:37 · pre 221 meseci #16

Iz $X\leq Y$ sledi $X^*\leq Y^*$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dualni prostor pojasnjenje 20.08.2008. u 13:15 · pre 221 meseci #17

Sta si ovde hteo da kazes? Da li ovo vazi $\mathcal{D}^{'} \supset L^2$ ? Pa vazi u $\mathcal{D}^{'}$ se nalazi $\delta$ , a u $(L^2)'=L^2$ se ne nalazi jer nema konacnu normu!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dualni prostor pojasnjenje 20.08.2008. u 19:08 · pre 221 meseci #18

Citat:

petarm: Da li ovo vazi $\mathcal{D}^{'} \supset L^2$ ?

Da, ali $\cal D$ nije Banahov pristor jer nemaš normu.

Citat:

Nedeljko: Iz $X\leq Y$ sledi $X^*\leq Y^*$ .

Ovo važi za Banahove prostore. Zato je u matišu vrlo bitan kontekst tvrđenja i zato sam ti rekao da promeniš pristup učenju matiša. Ako nemaš vremena, slobodno preskoči sve dokaze i sva izvođenja. Sve ostalo ti je važno.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dualni prostor pojasnjenje 20.08.2008. u 19:28 · pre 221 meseci #19

Citat:

Nedeljko: Ovo važi za Banahove prostore. Zato je u matišu vrlo bitan kontekst tvrđenja i zato sam ti rekao da promeniš pristup učenju matiša. Ako nemaš vremena, slobodno preskoči sve dokaze i sva izvođenja. Sve ostalo ti je važno.

Hvala na savetu!
Mozes li mi odgovoriti zasto kada radim dual od $\mathcal{D}$ dobijam veci prostor, a to isto ne vazi za Banahove prostore?!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dualni prostor pojasnjenje 20.08.2008. u 20:20 · pre 221 meseci #20

Ako bi u Švarcovom prostoru uveo integralnu normu, nizovi funkcija bi mnogo češće konvergirali, pa bi bilo više pojedinačnih slučajeva kada linearni funkcional treba da konvergira, odnosno teže bi se dobijali neprekidni funkcionali. Ako pređeš na potprostor ne menjajući konvergenciju, onda taj faktor nemaš, već imaš manje stepeni slobode pri izboru funkcionala (funkcionali na celom prostoru se mogu razlikovati, ali da se podudaraju na potprostoru).

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Srodne teme