Sredingerova jednacina!

Sredingerova jednacina! 26.07.2008. u 03:55 · pre 222 meseca #1

Sredingerova jednacina mora biti linearna zbog principa superpozicije! Ovo je skroz jasno! Medjutim negde sam nasao mora biti linearna i homogena zbog principa superpozicije? Zasto homogena?

Formalno izvodjenje kakvo samo radili na predavanjima je sledece! Rekli smo svaka cestica ima i talasna svojstva.

monohromatski talas - $Ae^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}=Ae^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{r}-E t)}$

I onda smo fju stanja trazili u vidu superpozicije monohromatskih talasa

$\psi(\vec{r},t)=\int A(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{r}-E t)}d^3\vec{p}$
Zasto amplituda u opstem slucaju zavisi od impulsa?

$E=\frac{p^2}{2m}$ - nerelativisticki slucaj

Zatim se dobija

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec{r},t)=\int E A(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{r}-E t)}d^3\vec{p}$

$-\hbar^2\Delta\psi(\vec{r},t)=\int p^2 A(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{r}-E t)}d^3\vec{p}$

I odatle imamo

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec{r},t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta$

Ovo je za slucaj slobodne cestice!

U opstem slucaju imamo

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec{r},t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V(\vec{r})$

Koliko je ovo formalno izvodjenje korektno? Kazem formalno jer ipak je SJ postulat!

U kom slucaju ja mogu reci

$E=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ ?

I kad mogu pricati o jednakosti operatora $\hat{H}$ i $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Sredingerova jednacina! 26.07.2008. u 18:08 · pre 222 meseca #2

Citat:

petarm: Sredingerova jednacina mora biti linearna zbog principa superpozicije! Ovo je skroz jasno! Medjutim negde sam nasao mora biti linearna i homogena zbog principa superpozicije? Zasto homogena?

Formalno izvodjenje kakvo samo radili na predavanjima je sledece! Rekli smo svaka cestica ima i talasna svojstva.

monohromatski talas - $Ae^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}=Ae^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{r}-E t)}$

I onda smo fju stanja trazili u vidu superpozicije monohromatskih talasa

$\psi(\vec{r},t)=\int A(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{r}-E t)}d^3\vec{p}$
Zasto amplituda u opstem slucaju zavisi od impulsa?

Mislim ti si ovim fakticki predpostavio da je evolucija svojstvenog stanja data sa exp(-i/h Et), sto je ekvivalentno sa sj. Ovo se vise moze svatiti kao neki pokaz ne kao dokaz. (mada se meni vise svidja da se uspostavi veza izmedju sj. i hamiltoj jakobijeve jednacine, pogledaj [Landau])

Citat:

$E=\frac{p^2}{2m}$ - nerelativisticki slucaj

Zatim se dobija

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec{r},t)=\int E A(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{r}-E t)}d^3\vec{p}$

$-\hbar^2\Delta\psi(\vec{r},t)=\int p^2 A(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{r}-E t)}d^3\vec{p}$

I odatle imamo

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec{r},t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta$

Ovo je za slucaj slobodne cestice!

U opstem slucaju imamo

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec{r},t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V(\vec{r})$

Koliko je ovo formalno izvodjenje korektno? Kazem formalno jer ipak je SJ postulat!

U kom slucaju ja mogu reci

$E=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ ?

I kad mogu pricati o jednakosti operatora $\hat{H}$ i $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ ?

Izjadnacavati broj i operator ima samo neko neformalno znacenje (tj. da isto deluju na svojstveni vektor). Sj. ti je ustvari iskaz da evoluciju talasne fje diktira hamiltonijan sistema. (matematicki operatori H i d/dt nisu uopste isti samo isto deluju na talasne funkcije sistema ciji je hamiltonijan H, na neku proizvoljnu fju naravno ne deluju na isti nacin)

pozdav.

Re: Sredingerova jednacina! 27.07.2008. u 11:59 · pre 222 meseca #3

Citat:

petarm:
$\psi(\vec{r},t)=\int A(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{r}-E t)}d^3\vec{p}$
Zasto amplituda u opstem slucaju zavisi od impulsa?

Pa pogledaj, ako ti je partikularno rešenje u trenutku t dato sa $Ae^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}$ onda ćeš opšte rešenje u trenutku t dobiti sumiranjem svih partikularnih rešenja u trenutku t. Partikularna rešenja u trenutku t prebrojava parametar p, tj. impuls tako da se opšte rešenje dobija sumiranjem po impulsu što znači da, barem što se sumiranja tiče $A(\vec{p}, t)=A(\vec{p})$ .

Citat:

petarm:I kad mogu pricati o jednakosti operatora $\hat{H}$ i $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ ?

To možeš da kažeš u nerelativističkom slučaju.

Re: Sredingerova jednacina! 28.07.2008. u 18:20 · pre 222 meseca #4

Citat:

kajla: Ovo se vise moze svatiti kao neki pokaz ne kao dokaz.

A sta je tacno pokaz?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Sredingerova jednacina! 28.07.2008. u 20:44 · pre 222 meseca #5

Pa kad nesto nije strog dokaz (mada vecina dokaza u fiziki nije stoga) vec cisto ti pokazuje kako da dodjes do nekog rezultata...

pozdrav.

Re: Sredingerova jednacina! 29.07.2008. u 14:57 · pre 222 meseca #6

Citat:

tomkeus: To možeš da kažeš u nerelativističkom slučaju.

_{[Ovu poruku je menjao tomkeus dana 27.07.2008. u 12:50 GMT+1]}

A moze li se reci da su jednaki operatori $(\hat{H})^{-1}$ i $(i\hbar\frac{\partial}{\partial t})^{-1}$ u nerelativistickom slucaju!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme