Zanimljivi zadaci - elegantna resenja

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 21.07.2008. u 11:11 · pre 222 meseci #21

$\sum_{l=0}^n(2l+1)=2*\sum_{l=0}^n(l)+\sum_{l=0}^n1=n(n+1)+n+1=(n+1)*(n+1)$

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 21.07.2008. u 11:25 · pre 222 meseci #22

Da, tačno. Omaškom sam napisao $\sum_{l=0}^n(2l+1)=n^2$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 21.07.2008. u 11:44 · pre 222 meseci #23

Evo jedan sa interesantnom smjenom:

$\int {dx \over \sqrt{ (x-a)*(b-x)} } ,(a<x<b)$

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 21.07.2008. u 12:39 · pre 222 meseci #24

Citat:

petarm: $\sum^{n}_{l=0}(2l+1)$

$n$ - fiksno

$n=2N+l$

$n,N,l\in\mathcal{N}_0$

Ako je $n$ parno ocigledno je i $l$ parno i ako je $n$ neparno onda je i $l$ neparno! Pretpostavljam da je jedini nacin da pokazem kolko iznosi gornja suma je da pokazem kolko iznosi za $n$ parno, $n$ neparno i da pokazem da nema razlike? Voleo bih u svakom slucaju da vidim moze li se ovo ikako resiti drugacije?

$n$ - parno
$l=2q\in\mathcal{N}_0$

$\sum^{n}_{l=0}(2l+1)=\sum^{\frac{n}{2}}_{q=0}(2\cdot2q+1)=\sum^{\frac{n}{2}}_{q=0}(4q+1)=4\sum^{\frac{n}{2}}_{q=0}q+\sum^{\frac{n}{2}}_{q=0}1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

$n$ - neparno
$l=2p+1$

$\sum^{n}_{l=1}(2l+1)=\sum^{\frac{n-1}{2}}_{p=0}(4p+3)=4\sum^{\frac{n-1}{2}}_{p=0}p+3\sum^{\frac{n-1}{2}}_{p=0}1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

$\frac{(n+1)(n+2)}{2}={{n+2}\choose 2}$

_{[Ovu poruku je menjao petarm dana 21.07.2008. u 13:30 GMT+1]}

Citat:

Nedeljko: Prvo, $\sum_{l=0}^n(2l+1)=n^2$ . Račun ti nije tačan. Ne znam odakle ti $4q+1$ i $4p+3$ . A ako već znaš $\sum_{l=0}^n$ možeš ga odmah primeniti na $\sum_{l=0}^n(2l+1)$ .

Jedan način je školska formula za zbir aritmetičke progresije: prvi član plus poslednji član ima isti zbir kao drugi plus pretposlednji itd. Drugi način je da se $2l+1$ napiše kao $(l+1)^2-l^2$ i onda ti se pokrate svi unutrašnji članovi. U vezi uopštenja ove ideje vidi

http://www.elitesecurity.org/p1997028

Mozda se nisam najbolje izrazio, ali sam naglasio da izmedju $N,l,n$ postoji veza. U zavisnosti od $n$ $l$ ne moze da uzima sve vrednosti! Odnosno u jednom slucaju bi sumu bilo najbolje pisati kao

$\sum_{l=0,2,4...,n}(2l+1)$ , a u drugom $\sum_{l=1,3,5,...,n}(2l+1)$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 21.07.2008. u 13:30 · pre 222 meseci #25

Sad tek vidim šta si napisao. Ako je $n=2N+l$ onda to $l$ ne može imati nikakve veze sa $l$ iz $\sum_{l=0}^{n}(2l+1)$ , jer se prvo $l$ može zadavati (slobodno je), a drugo $l$ trči preko nekih vrednosti i ne može biti zadano (vezano je). To je potpuno isto kao da si napisao $\sum_{k=0}^n(2k+1)$ i ta suma je jednaka $(n+1)^2$ . Nisam baš čitao šta si sve napisao, ali se nadam da sam ti pomogao.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 22.07.2008. u 14:13 · pre 222 meseci #26

Mene zapravo zanima da li ja mogu da kad izracunam jednu od ovih suma npr. $\sum_{l=0,2,4...,n}(2l+1)$ da tvrdim da za ovu drugu sumu dobijam isti rezultat $\sum_{l=1,3,5,...,n}(2l+1)$ bez izracunavanja? I ima li neke veze sa kombinatorikom sto se dobija bas ${{n+2}\choose 2}$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 22.07.2008. u 16:10 · pre 222 meseci #27

Obadvije sume idu do n,medjutim jednom je n parno drugi put neparno nije jasno dokle ide sumiranje.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 22.07.2008. u 19:53 · pre 222 meseci #28

Ti dobijas i rezultat koji zavisi od $n$ i u jednom i u drugom slucaju!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 22.07.2008. u 20:49 · pre 222 meseci #29

Dobro haj mi sad reci ako dobijes kako ti kazes ${{n+2}\choose 2}$ u obadva slucaja kako to moze biti isto ako je jednom n parno a drugi put neparno.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 22.07.2008. u 20:53 · pre 222 meseci #30

Pa nije isto, al ista je forma resenja! Ja kad resavam problem koji sam zadao, videces ako ga pazljivo procitas, ne znam dal je n parno ili neparno? Pa pretpostavim i jedan i drugi slucaj i ocigledno dobijem sta dobijem!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 23.07.2008. u 00:28 · pre 222 meseci #31

Pusti to haj rjesi onaj integral :D

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 23.07.2008. u 03:40 · pre 222 meseci #32

a pa cim je 76' 100% cu probati da resim...jaoo boze

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 23.07.2008. u 08:21 · pre 222 meseci #33

Citat:

petarm: Mene zapravo zanima da li ja mogu da kad izracunam jednu od ovih suma npr. $\sum_{l=0,2,4...,n}(2l+1)$ da tvrdim da za ovu drugu sumu dobijam isti rezultat $\sum_{l=1,3,5,...,n}(2l+1)$ bez izracunavanja? I ima li neke veze sa kombinatorikom sto se dobija bas ${{n+2}\choose 2}$ ?

Ako je $n$ neparno, na primer $n=2k+1$ za neko celo $k\geq 0$ , onda je $1+3+\cdots+(2k+1)=k^2$ , odnosno $1+2+\cdots+n=\left(\frac{n-1}{2}\right)^2$ i nikako ne moze biti ono sto si dobio. Recimo, za $n=3$ je ${{3+2}\choose{2}}=10$ odnosno $1+3=4$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 23.07.2008. u 08:23 · pre 222 meseci #34

Ostavio sam ti link gde je data formula za $\sum_{l=1}^nl^k$ za proizvoljan prirodan broj $k$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 23.07.2008. u 11:43 · pre 222 meseci #35

Citat:

h4su: Pusti to haj rjesi onaj integral :D

Pa smena i nije nesto mnogo interesantna.
Nadam se da resenje zadovoljava.
Ili ima neki interesantniji nacin za resavanje?

R_1.gif5.24k

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 23.07.2008. u 14:22 · pre 222 meseci #36

Pretpostavicu da je $a<b$ Drugi slucaj je analogan.
Jedan od nacina je Ojlerova smena $t=\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}$ , $\frac{dx}{b-x}=\frac{2t\,dt}{1+t^2}$ , kada se integral svodi na $\int\sqrt{\frac{b-x}{x-a}}\,\frac{dx}{b-x}=\int\frac{2t^2\,dt}{1+t^2}$ i ne vidim nikakvu pamet u tome. Ovo je potpuno tipski zadatak i ovo je standardno resenje, kao i ono koje je igorpet napisao.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 23.07.2008. u 15:47 · pre 222 meseci #37

Moguce su i smene $x-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}\cosh t$ i $x-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}\tan t$ . Ovom drugom se integral svodi na $\int\cos^2 t\,dt$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 23.07.2008. u 16:15 · pre 222 meseci #38

Citat:

Nedeljko: Moguce su i smene $x-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}\cosh t$ i $x-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}\tan t$ . Ovom drugom se integral svodi na $\int\cos^2 t\,dt$ .

Prva smena dovodi do kompleksnog resenje (a zatim treba naci i t i sve to malo srediti), ali kako u drugoj dobijas samo cos(t)^2 ???
Da li ja negde gresim ili si ti Nedeljko negde napravio previd?

I1_1.gif2.87k

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 23.07.2008. u 18:55 · pre 222 meseci #39

$\sum_{l=1,3,5,...,n}(2l+1)=\sum^{\frac{n-1}{2}}_{p=0}(4p+3)=4\sum^{\frac{n-1}{2}}_{p=0}p+3\sum^{\frac{n-1}{2}}_{p=0}1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

$\sum_{l=0,2,4...,n}(2l+1)=\sum^{\frac{n}{2}}_{q=0}(2\cdot2q+1)=\sum^{\frac{n}{2}}_{q=0}(4q+1)=4\sum^{\frac{n}{2}}_{q=0}q+\sum^{\frac{n}{2}}_{q=0}1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Nadam se da je sad ovo zapisano u korektnom obliku?

Ja znam da mi je $n=2N+l$

Ja treba da izracunam sledece $\sum_{l}(2l+1)$

Zbog veze izmedju $n$ i $l$ ja mogu da imam jednu od gornje 2 sume! Jel tako? Da li ja mogu da PP da je $n$ neparno npr. i da prosumiram prvu od gornje dve sume i da napisem $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ i kazem to mi je rezultat u zavisnosti od $n$ , a drugu sumu ne moram sumirati jer znam da cu dobiti $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ zbog...?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 23.07.2008. u 21:12 · pre 222 meseci #40

Citat:

Nedeljko: Pretpostavicu da je $a<b$ Drugi slucaj je analogan.
Jedan od nacina je Ojlerova smena $t=\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}$ , $\frac{dx}{b-x}=\frac{2t\,dt}{1+t^2}$ , kada se integral svodi na $\int\sqrt{\frac{b-x}{x-a}}\,\frac{dx}{b-x}=\int\frac{2t^2\,dt}{1+t^2}$ i ne vidim nikakvu pamet u tome. Ovo je potpuno tipski zadatak i ovo je standardno resenje, kao i ono koje je igorpet napisao.

Meni je ova smjena interesantna x=acos²t+bsin²t

$\int {dx \over \sqrt{ (x-a)*(b-x)} }=2 \int dt=2t+C=2arctg \sqrt {(x-a) \over (b-x)}+C$

Tema je zanimljivi zadaci eleg rjesenja,meni je ovo rjesenje interesantno,nisam ni rekao da je nesto tezak zadatak.Evo jedan tezak zadatak (bar meni) koji sam vec ranije postavio i niko se nije javio.

Konstruisati kružmicu kojoj je centar na datoj pravi a iz date dvije tacke križnica se vidi pod datim uglovima.

Srodne teme