Teorija stacionarnih perturbacija

Teorija stacionarnih perturbacija 02.07.2008. u 17:50 · pre 223 meseca #1

Kod teorije perturbacija gde je $\psi^{(0)}_{n}$ talasna fja koja je svojstvena fja neperturbisanog Hamiltonijana $\hat{H_0}$ traze se prva i druga popravka za datu perturbaciju kao $\psi^{(1)}_{n}=\sum_{k}c^{(1)}_{nk}\psi^{(0)}_{k}$ i $\psi^{(2)}_{n}=\sum_{k}c^{(2)}_{nk}\psi^{(0)}_{k}$ . Zasto se ove popravke mogu traziti u obliku razvoja po svojstvenim fjama neperturbisanog Hamiltonijana? I moze li se napraviti generalizacija $\psi^{(m)}_{n}=\sum_{k}c^{(m)}_{nk}\psi^{(0)}_{k}$ za $m$ -tu popravku?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Teorija stacionarnih perturbacija 03.07.2008. u 09:21 · pre 223 meseca #2

Zato sto cine jedan kompletan skup svojstvenih stanja.
Svaka talasna funkcija moze da se predstavi u takvom skupu.
Svojstvene funkcije nepertubovanog hamiltonijana mogu explicitno da se rese i zato predstavljaju
pogodni bazis. Jos su i ortonormirane.

Re: Teorija stacionarnih perturbacija 03.07.2008. u 11:16 · pre 223 meseca #3

Da nisam razmisljao! Naravno hvala ti!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Teorija stacionarnih perturbacija 03.07.2008. u 16:09 · pre 223 meseca #4

Kako se ovo radi?

Neka je $\hat{H}=\hat{H_0}+\hat{V}$

$\hat{H_0}=\left[\begin{array}{ccc}\ -2&\ 0& 0\\ \ 0&\ 1&\ 0\\ 0&\ 0& 3\end{array}\right]$

$\hat{V}=\left[\begin{array}{ccc}\ c&\ 0& 0\\ \ 0&\ 0&\ c\\ 0&\ c& 0\end{array}\right]$

Treba da se nadju svojstvene vrednosti $\hat{H}$ primenom teorije perturbacija do drugog reda po $c$ . Smatrajuci da je $c$ mnogo manje od $1$ .

Ja sam resavao svojstveni problem ovog operatora i dobio sam svojstvene vrednosti $\lambda_1=c-2$ , $\lambda_2=2+\sqrt{1+c^2}$ , $\lambda_3=2-\sqrt{1+c^2}$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Teorija stacionarnih perturbacija 08.07.2008. u 21:14 · pre 222 meseca #5

Reši svojstveni problem $H_0$ da bi našao energetske nivoe i stanja (svojstvene vrednosti i vektori matrice $H_0$ ). Svojstvene vrednosti ove matrice su nedegenerisane tako da imaš tri energijska nivoa $E_1, E_2, E_3$ sa pripadajućim stanjima $|E_1\rangle, |E_2\rangle, |E_3\rangle$ . Prva popravka i-tog nivoa je $E_i^{(1)}=\langle E_i|V|E_i\rangle$ . Druga popravka i-tog nivoa je $E_i^{(2)}=\sum_{j=1}^{3}\frac{|\langle E_i|V|E_j\rangle|^2}{E_i-E_j}$ . U ove formule samo ubaci svojstvene vektore koje si izračunao i to je to.

Re: Teorija stacionarnih perturbacija 09.07.2008. u 12:32 · pre 222 meseca #6

Resavanjem svojstvenog problema neperturbisanog Hamiltonijana dobijam $\lambda_1=-2,\lambda_2=1,\lambda_3=3$ . Odnosno $E_1=-2,E_2=1,E_3=3$ . Svojstveni vektori koji odgovaraju ovim svojstvenim vrednostima su $<E_1|=(1 0 0),<E_2|=(0 1 0),<E_3|=(0 0 1)$ .

prva popravka:
$E^{(1)}_{1}=<E_1|\hat{V}|E_1>=c$
$E^{(1)}_{2}=<E_2|\hat{V}|E_2>=0$
$E^{(1)}_{3}=<E_3|\hat{V}|E_3>=0$

druga popravka:
$E^{(2)}_{1}=0$
$E^{(2)}_{2}=-\frac{c^2}{5}$
$E^{(2)}_{3}=\frac{c^2}{2}$

Pa dobijem da je
$E_1=c-2$
$E_2=1-\frac{c^2}{5}$
$E_3=3+\frac{c^2}{2}$

Nisam siguran dal je ovo dobro? $E_1$ se idealno slaze ali $E_2$ i $E_3$ ? I sto $E^{(2)}_{3}=\frac{c^2}{2}$ nije negativno?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Teorija stacionarnih perturbacija 09.07.2008. u 13:20 · pre 222 meseca #7

Pa i ne može da se složi sa rezultatima koje si dobio direktnim rešavanjem svojstvenog problema operatora $H_0+V$ zato što si ti izračunao samo prva dva člana u beskonačnom razvoju.

Re: Teorija stacionarnih perturbacija 09.07.2008. u 13:25 · pre 222 meseca #8

Pa OK! Ali cini mi se da se slaze manje nego sto bi trebalo! I sto $E^{(2)}_{3}=\frac{c^2}{2}$ nije negativno? I gde ja koristim $c<<1$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Teorija stacionarnih perturbacija 09.07.2008. u 17:43 · pre 222 meseca #9

$E_3^{(2)}$ je u redu. Mislim da si kod računanja $E_2^{(2)}$ napravio računsku grešku zato što ako rešiš svojstveni problem $H_0+V$ pa onda dobijene svojstvene vrednosti razviješ oko c=0 do drugog stepena moraš da dobiješ isti rezultat kao i primenom perturbacionog metoda drugog reda a $E_2$ dobijeno razvojem svojstvenih vrednosti i metodom perturbacija se ne slažu za razliku od ostalih.

Citat:

petarm:I gde ja koristim $c<<1$ ?

Koristiš ga da bi uopšte mogao da primeniš metod perturbacija jer je zahvaljujući tom uslovu V mala popravka pa razvoj daje zadovoljavajuće rezultate.

Re: Teorija stacionarnih perturbacija 09.07.2008. u 20:41 · pre 222 meseca #10

$E^{(1)}_{2}=<E_2|\hat{V}|E_2>$

prva popravka je nula.

$E^{(2)}_{2}=\sum_{i\neq 2}\frac{|<E_2|\hat{V}|E_i>|^2}{E_2-E_i}=0+\frac{c^2}{-2}=-\frac{c^2}{2}$

Odnosno

$E_{2}=1-\frac{c^2}{2}$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Teorija stacionarnih perturbacija 11.07.2008. u 00:57 · pre 222 meseca #11

$\lambda_{2}=2+(1+c^2)^\frac{1}{2}$

$(1+c^2)^{\frac{1}{2}}$

$c^2=x, x<<1$

$(1+x)^m=1+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{m(m-1)...(m-n+1)}{n!}x^n$

u ovom slucaju

$(1+x)^\frac{1}{2}\approx1+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)x=1-\frac{x}{4}$

$(1+c^2)^\frac{1}{2}=1-\frac{c^2}{4}$

$\lambda_{2}=2+(1+c^2)^\frac{1}{2}=3-\frac{c^2}{4}$
$\lambda_3=1+\frac{c^2}{4}$

Izgleda da ima negde greska?! Samo ne mogu da nadjem gde?:(

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme