Zaguljen zadatak iz teorije mere

Zaguljen zadatak iz teorije mere 16.05.2008. u 09:20 · pre 224 meseca #1

Neka je $E\subseteq R$ merljiv skup pozitivne Lebegove mere. Dokazati da skup $E+E=\{x+y\,:\,x,y\in E\}$ ima nepraznu unutrasnjost. Ako je nekome lakse, neka to dokaze u slucaju da je $E$ kompaktan skup (posto se opsti slucaj lako svodi na taj specijalan). U tom slucaju je i skup $E+E$ kompaktan skup.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 23.05.2008. u 12:32 · pre 224 meseca #2

Zar niko ne moze da resi ovaj zadatak? Ja ne umem da ga resim i zivo bi me zanimalo da vidim resenje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 23.05.2008. u 23:42 · pre 224 meseca #3

Što bi se ovde reklo: "Zar očekuješ da ti se domaći servira na tacni?"

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 25.05.2008. u 18:45 · pre 224 meseca #4

Prvo, imam previse godina da bih imao domaće zadatke.

Drugo, lepo sam napisao dokle sam stigao - do svođenja opšteg slučaja na slučaj kompaktnih skupova, a dalje ne umem.

Treće, ne očekujem ni kompletno rešenje, nego bar neku ideju za početak.

Četvrto, više godina sam posećivao ovaj forum i priložio mnoga rešenja. Voleo bih da mi neko da link gde sam izvoljevao da mi neko kompletno reši zadatak, a da prethodno nisam ni prstom mrdnuo.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 25.05.2008. u 19:51 · pre 224 meseca #5

Hej, to je bila šala... (Pretpostavljam da ti je poznat taj pojam.) Nije mi bila namera da ti bušim ego, te nema ni potrebe da se rogušiš.

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 27.05.2008. u 09:52 · pre 224 meseca #6

nemoj da se ljutis nedeljko, uradit cu ti ja zadatak, samo dok svežem kosu :lol :)

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 30.05.2008. u 08:09 · pre 224 meseca #7

Da li E mora da ima nepraznu unutrasnjost?

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 30.05.2008. u 10:20 · pre 224 meseca #8

Recimo da mora:
E je Lebeg merljiv, pa bi njegova unutrasnja mera bili svi intervali koji sa E imaju zajednickih tacaka (mislim njihova duzina), pa lim kad n->besk. Ako ne bi bilo ni jednog intervala koji je ceo u E onda bi mu unutrasnja mera bila nula, pa bi skup E bio ili nemerljiv ili mere nula.

Dakle, E sadrzi neki interval, pa ima unutrasnju tacku recimo x.
Onda postoji neka okolina od x : $B_x,\epsilon =\{x_0: |x-x_0|<\epsilon\}\subseteq E$
sada $z=x+x \in E+E$
Hocu da pokazem da je z unutrasnja tacka od E+E, tako sto je okolina $B_z,\epsilon \subseteq E+E$
Uzmem proizvoljnu tacku $z_0 \in B_z,\epsilon$
$=> |z_0-z|<\epsilon$
$=> x+z_0-z \in B_x,\epsilon\subseteq E$
Oznacim je sa $x_0=x+z_0-z \in E$
$z_0= x+x_0 => z_0 \in E+E$
$=> cela \ B_z,\epsilon \subseteq E+E$
=> z je unutrasnja tacka od E+E

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 30.05.2008. u 14:58 · pre 224 meseca #9

$E$ ne mora da ima nijednu unutrašnju tačku.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 01.06.2008. u 18:25 · pre 224 meseca #10

Da li znas neki primer takvog skupa?

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 01.06.2008. u 19:11 · pre 224 meseca #11

Uzmi skup iracionalnih brojeva iz intervala $[0,1]$ .

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 06.06.2008. u 14:47 · pre 224 meseca #12

To nije kompaktan skup. No, moze se konstruisati takav skup slicno kao Kantorov, s tim sto ukupna suma sirina izbacenih intervala treba da bude manja od od sirine polaznog intervala iz koga se vrsi izbacivanej.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 07.06.2008. u 22:37 · pre 224 meseca #13

Sabandijilla se nigde nije ograničio na kompaktne skupove, već je tražio (makar kako sam ja razumeo) primer bilo kakvog skupa pozitivne Lebegove mere koji nema unutrašnjih tačaka.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 28.10.2012. u 23:05 · pre 170 meseci #14

Aj Nedeljko (ako si jos u stanju) napisi to kako si opsti slucaj sve na kompaktne skupove (a bilo bi super ako si u medjuvremenu uradio ceo zadatak (koji je iz knjige Arsenovic/Dostanic/Jocic, jel tako?)).

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 29.10.2012. u 00:03 · pre 170 meseci #15

Iz regularnosti i $\sigma$ -konačnosti Lebegove mere sledi da svaki skup $E$ pozitivne mere ima kompaktan podskup $C$ pozitivne mere. Ako bi skup $C+C$ imao unutrašnju tačku, tim pre bi je imao i $E+E\supseteq C+C$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 29.10.2012. u 02:02 · pre 170 meseci #16

Što se samog zadatka tiče, rešenje verovatno najjednostavnije ide preko Lebegove teoreme o gustini. Naime, iz navedene teoreme direktno sledi da postoji $e\in E$ za koje je $d(e)=1$ . To znači da možemo odabrati $\varepsilon>0$ takvo da je $\font\amssy=msam10\def\leqslant{\mathrel{\hbox{\amssy\char54}}}\frac 3 4<\frac{\mu(E\cap(e-\varepsilon,e+\varepsilon))}{2\varepsilon}\leqslant 1$ . Dokazaćemo: $(2e-\varepsilon,2e+\varepsilon)\subseteq E+E$ . Pretpostavimo suprotno: neka $a\in(2e-\varepsilon,2e+\varepsilon)$ , $a\notin E+E$ . Neka je, bez umanjenja opštosti, $a>2e$ . Tada za svako $x\in(e,e+\varepsilon)$ važi $a-x\in(e-\varepsilon,e+\varepsilon)$ . Kako $a\notin E+E$ , sledi da $x$ i $a-x$ ne mogu istovremeno pripadati skupu $E$ . Odatle su skupovi $E\cap(e,e+\varepsilon)$ i $(a-E)\cap(e-\varepsilon,e+\varepsilon)$ disjunktni, pa važi

$\font\amssy=msam10\def\leqslant{\mathrel{\hbox{\amssy\char54}}} \begin{array}{r@{}l} 2\mu(E\cap(e-\varepsilon,e+\varepsilon))&{}=\mu(E\cap(e-\varepsilon,e+\varepsilon))+\mu(E\cap(e-\varepsilon,e+\varepsilon))=\mu(E\cap(e-\varepsilon,e))+\mu(E\cap(e,e+\varepsilon))+\mu((a-E)\cap(e-\varepsilon,e+\varepsilon))\\ &{}=\mu(E\cap(e-\varepsilon,e))+\mu\Big((E\cap(e,e+\varepsilon))\cup((a-E)\cap(e-\varepsilon,e+\varepsilon))\Big)\\ &{}\leqslant\mu((e-\varepsilon,e))+\mu((e-\varepsilon,e+\varepsilon))=3\varepsilon,\end{array}$

što je u kontradikciji sa izborom $\varepsilon$ .

Na isti način se dokazuje i da za dva merljiva skupa s pozitivnom Lebegovom merom, $E_1$ i $E_2$ , skup $E_1+E_2$ ima nepraznu unutrašnjost.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 29.10.2012. u 08:34 · pre 170 meseci #17

Svaka čast Bojane!

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 28.09.2018. u 11:26 · pre 98 meseci #18

I tako se Bojan (kao autor rešenja) i ja (koji sam ga odobrio) pređosmo.

Nije tačno da je

$\mu(E\cap(e-\varepsilon,e+\varepsilon))=\mu((a-E)\cap(e-\varepsilon,e+\varepsilon))$ ,

već je

$\mu(E\cap(e-\varepsilon,e+\varepsilon))=\mu((a-E)\cap(a-e-\varepsilon,a-e+\varepsilon))$ .

Na kraju popravljenog računa dobiće se $3\varepsilon+a<2e$ , što je manje od $4\varepsilon$ , što nije dovoljno dobra procena. Ako bi se pak bilo $a\in(2e,2e+\varepsilon/2)$ i konstanta $3/4$ se zamenila sa $7/8$ popravka bi bila moguća.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zaguljen zadatak iz teorije mere 29.09.2018. u 18:58 · pre 98 meseci #19

Ma kao da je bitno je li $\frac 3 4$ ili $\frac 78$ , šta sitničariš, broj kô broj.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme