Dokaz opšteg Košijevog kriterijuma za konvergenciju redova

Odgovori Nova tema

2 odgovora
6.239 pregleda

Dokaz opšteg Košijevog kriterijuma za konvergenciju redova 10.04.2008. u 00:31 · pre 225 meseci #1

Ako moze pomoc oko dokaza Košijeve teoreme:
Beskonačan brojni red
je konvergentan ako i samo ako, za svako epsilon>0, postoji n0 takav da za svako n>n0 i svako p>0 vazi:
|Sn+p - Sn|<epsilon.
Hvala veliko

Re: Dokaz opšteg Košijevog kriterijuma za konvergenciju redova 10.04.2008. u 10:40 · pre 225 meseci #2

Neka je dat red $\sum_{n=1}^{+\infty}a_n$ i neka je $S_n=\sum_{k=1}^na_k$ niz njegovih parcijalnih suma. Ako je niz $S_n$ konvergentan ka nekom $a$ , onda za svako $\varepsilon>0$ mozemo naci neko $n_0\in N$ takvo da vazi $|S_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}$ za sve $n\geq n_0$ , pa ce za svako $n\geq n_0$ , $p\geq 0$ biti $|S_{n+p}-S_n|\leq|S_{n+p}-a|+|S_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ .

Neka je sada ispunjen Kosijev uslov. Stavljajuci da je $\varepsilon=1$ za odgovarajuce $n_0\in N$ takvog da je $|S_{n+p}-S_n|<\varepsilon$ za sve $n\geq n_0$ i $p\geq 0$ dobijamo da je $|S_n|<|S_{n_0}|+1$ za sve $n\geq n_0$ . Neka je $m=\max\{|S_1|,\dots,|S_{n_0}|\}$ i $M=\max\{m,|S_{n_0}|+1\}$ Tada je $|S_n|\leq M$ za sve $n\in N$ , to jest, niz $S_n$ je ogranicen.

Neka je $x_n=\inf_{k\geq n}S_k$ i $y_n=\sup_{k\geq n}S_k$ Niz $x_n$ je neopadajuci, a niz $y_n$ nerastuci i vazi $x_n<y_n$ za svako $n\in N$ . Iz Kosijevog uslova sledi da za svako $\varepsilon>0$ postoji $n_0\in N$ takvo da je $y_{n_0}-x_{n_0}<\varepsilon$ zbog cega se presek niza umetnutih odsečaka $[x_n,y_n]$ svodi na neku tačku $a$ . Za $n\geq n_0$ svakako važi $|S_n-a|<\varepsilon$ .

_{[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 10.04.2008. u 21:29 GMT+1]}

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dokaz opšteg Košijevog kriterijuma za konvergenciju redova 11.04.2008. u 22:52 · pre 225 meseci #3

Hvala Nedeljko, izgleda da radi.
Hvala, pozdrav.

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Srodne teme