> Koje su sve neeuklidske geometrije? Da li se pod neeuklidskom geometrijeom podrazumeva samo geometrija Lobacevskog (hiperbolicka) ili i elipticka,ili je elipticka geometrija proizisla iz hiperbolicke?
Po Wikipediji, naziv "neeuklidska geometrija" je istorijski i potice od pokusaja da se Euklidova geometrija iz Elemenata reformulise menjajuci petu grupu postulata (peti postulat).
Prosta generalizacija ovog postulata "kroz tacku koja nije na datoj pravi prolazi tacno jedna prava paralelna datoj pravoj" je da se "jedna" zameni ili sa 0 ili sa beskonacno.
Ovde se pri
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c9cec8af804beec0db1fe1c7d080dc4d.png)
misli
![](https://static.elitesecurity.org/tex/91deb6bc6f07a9b8f46297c9645869eb.png)
. Ovakva generalizacija dovela je do elipticne (0 pravih) i geometrije Lobacevskog (
![](https://static.elitesecurity.org/tex/61feb71ae523722ebb89ed76e69dba02.png)
pravih).
Dramaticnu generalizaciju ovih ideja i time pojma "neeuklidske" geometrije razvio je Riemann krajem 19. veka. Riemann ne polazi od Euklidovih postulata o tackama, pravima, ravnima, relaciji izmedju i jednakosti duzi vec prvo uvodi apstrakciju Euklidovog prostora koju naziva visestrukost (manifold).
Mala digresija o visestrukostima:
Ideja visestrukosti je dosta prosta. U pitanju je prostor cije delove je moguce posmatrati kao podskupove
![](https://static.elitesecurity.org/tex/56847887ed540b3bdaf9037754918699.png)
. Ako isti deo visestrukosti mozes da posmatras na vise nacina kao deo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/56847887ed540b3bdaf9037754918699.png)
, onda se zahteva da ova preslikavanja budu kompatibilna. Naime, ako postoje 1-1 i na preslikavanja
![](https://static.elitesecurity.org/tex/447189e08950d7c7f44bc7b48f7b6e76.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7cd9bf7c705c5e432d13673b9c0c1d27.png)
, onda mozes da posmatras preslikavanje
![](https://static.elitesecurity.org/tex/eddca8a56233acc4b658888a9fb2ae68.png)
. Ako je M "glatka" visestrukost, zahteva se da preslikavanje
![](https://static.elitesecurity.org/tex/193ab766666f59a49cf47590bc92d4ad.png)
bude glatko tj. beskonacno diferencijabilno.
Jedan primer visestrukosti je povrsina sfere. Delove sfere mozes da preslikas u
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7e73a3d6747fe16aecdbd3dee9e74fca.png)
preko geografske sirine i duzine. Nazalost,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e6e7212b90ab782ce56dcc3a45044236.png)
(sirina, duzina) nije 1-1 na polovima. Zato f definises na sferi bez polova. Da bi prekrili citavu sferu, treba ti onda bar jedno drugo preslikavanje g koje ce da region oko polova preslika 1-1 i na na
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7e73a3d6747fe16aecdbd3dee9e74fca.png)
. Ovo mozes da uradis tako sto prvobitno preslikavanje zarotiras za 90deg. Funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/193ab766666f59a49cf47590bc92d4ad.png)
dobijena na ovaj nacin bice beskonacno diferencijabilna a sfera sa preslikavanjima f i g postaje visestrukost.
Geometrija koja se odvija na diferencijalnim visestrukostima (
![](https://static.elitesecurity.org/tex/de67d766b8c5cff7a6a60a4fb444dce6.png)
je diferencijabilna) zove se diferencijalna geometrija. Na neki nacin, diferencijalna geometrija je konacna generalizacija ideja analiticke geometrije -- sve geometrijske pojmove moguce je posmatrati preko njihovih koordinata u
![](https://static.elitesecurity.org/tex/56847887ed540b3bdaf9037754918699.png)
. Stavise, u diferencijalnoj geometriji, dozvoljeno je proizvoljno menjati koordinate dok god su koordinatne transformacije diferencijabilne.
Riemann na ovako zadatoj visestrukosti onda uvodi pojam rastojanja izmedju veoma bliskih tacaka koji naziva metrikom (g). Diferencijalna geometrija sa metrikom naziva se Riemann-ova geometrija. Riemann-ov genije je bio u tome da shvati da je samo na osnovu postojanja (proizvoljnih!)
![](https://static.elitesecurity.org/tex/56847887ed540b3bdaf9037754918699.png)
koordinata i metrike moguce proizvesti mnogo razlicitih geometrija, ukljucijuci elipticnu, euklidsku i geometriju Lobacevskog. Konkretno, Riemann 5. postulatu pristupa na sledeci nacin:
Posto se kontinualne prave sastoje od niza beskonacno bliskih tacaka, pomocu metrike je moguce izracunati duzinu proizvoljne krive na visestrukosti. Prave su onda one krive koje svoje bilo koje dve tacke povezuju ekstremnim rastojanjem. Iz zanimljivih ali tehnickih razloga, "ekstremno rastojanje" nije "najkrace rastojanje". Umesto toga, za liniju izmedju dve tacke se kaze da je ekstremna ako se duzina ove linije ne menja pri maloj promeni oblika krive. "ne menja" i "mala promena" moguce je detaljnije definisati, sto sada necu da radim.
U zavisnosti od varijacije metrike po povrsini visestrukosti, kroz zadatu tacku postojace 0, vise, ili beskonacno Riemannovih pravih paralelnoj datoj pravi (Riemann-ova "prava" je definisana gore).
Kakve sve ovo veze ima sa svetom oko nas?
Pa, Einstein je odlucio da prostor i vreme u kojima zivimo posmatra kao jedinstvenu 4D visestrukost (prostor-vreme). Tacke visestrukosti odgovaraju dogadjajima u prostor-vremenu dok preslikavanja tipa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e1924533df3269f0523e7ca8ea268602.png)
odgovaraju razlicitim koordinatnim sistemima koje koristimo za opisivanje prostor-vremena.
Stavise, postoji prirodna, veoma elegantna, metrika prostor-vremena. Zamisli da imas neku krivu C. Pod odredjenim okolnostima po toj krivoj je moguce pustiti da ide fiktivni svemirski brod koji pak moze da ponese dobar sat. Duzina krive onda odgovara broju otkucaja ovog sata. Na ovaj nacin moguce je odrediti i duzinu svih veoma kratkih "vremenskih" linija po kojima mozemo da "pustimo" svemirski brod. Iz ovoga je onda moguce matematicki naci duzinu *svih* kratkih linija. Na ovaj nacin prostor-vreme postaje visestrukost na kojoj koriscenjem Riemann-ove matematike mozemo da analziramo prave, povrsi, zapremine, rastojanja tj. svu geometriju (tehnicki gledano, prostor-vreme je Minkowski-jeva a ne Riemann-ova visestrukost jer postoje linije sa negativnom duzinom)
Glavni postulat generalne teorije relativnosti je da raspodela materije i energije utice na metriku prostora. Metrika pak po Riemann-u utice na definiciju pojma "prave linije". Posto se tela u slobodnom padu krecu po "pravim linijama" (kaze Einstein), raspodela materije i energije utice na kretanje tela. Na ovaj nacin Einstein "proizvodi" gravitaciju.