Kanonske transformacije

Kanonske transformacije 15.11.2007. u 16:57 · pre 230 meseci #1

Pitanje je u dokumentu. Unapred hvala na odgovoru!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

KT.doc17k

Re: Kanonske transformacije 17.11.2007. u 01:31 · pre 230 meseci #2

1. Kako si dobio onu jednačinu?

2. Generatrisa ne može da zavisi samo od vremena zato što mora da povezuje stare i nove koordinate.

Re: Kanonske transformacije 17.11.2007. u 02:02 · pre 230 meseci #3

2.)Ja nisam ni rekao da ona mora da zavisi samo od vremena. Nisi pazljivo procitao. Rekao sam da je ona prilicno neodredjena tj. da nije jednoznacno odredjena. Ono sto sam hteo da kazem je sledece

$\delta f=\delta (f+h(t))$

1.)Dobio sam jnu iz Hamiltonovog principa!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kanonske transformacije 17.11.2007. u 04:07 · pre 230 meseci #4

Za dati par starih i novih koordinata generatrisa će biti neodređena samo do na aditivnu konstantu, a evo i zašto:

Neka su stare koordinate i impulsi (n koordinata i n njima konjugovanih impulsa) $q_i, p_i$ , nove $Q_i, P_i$ , a odgovarajući lagranžijani i hamiltonijani $L, H$ i $\mathcal{L}, \mathcal{H}$

Hamiltonov princip daje

$\delta\int Ldt=\delta\int\left(\sum_{i}p_i\dot{q}_i-H\right)dt=0$
$\delta\int \mathcal{L}dt=\delta\int\left(\sum_{i}P_i\dot{Q}_i-\mathcal{H}\right)dt=0$

Tj.

$\delta\int\left(L-\mathcal{L}\right)dt=0$

Ovo će uvek biti ispunjeno ako se lagranžijani razlikuju za totalni vremenski izvod neke funkcije F jer

$\delta\int\left(L-\mathcal{L}\right)dt=\delta\int_{t_0}^{t_1}\frac{dF}{dt}dt=\delta\left(F(t_1)-F(t_0)\right)=0$

jer je varijacija konstante 0. Ovo nam daje jednačinu

$\sum_{i}p_i\dot{q}_i-\sum_{i}P_i\dot{Q}_i-H+\mathcal{H}=\frac{dF}{dt}$ (1)

U opštem slučaju F je funkcija 4n+1 promenljivih $F(q_i, p_i, Q_i, P_i, t)$ , ali pošto imamo veze starih i novih koordinata $Q_i=Q_i(q_k, p_k, t), P_i=P_i(q_k, p_k, t)$ kojih je 2n, sledi da će generatrisa biti funkcija samo 2n+1 promenljivih. Sada imamo četiri varijante za izbor promenljivih od kojih zavisi F

$F_1=F(q_i, Q_i, t), F_2=F(q_i, P_i, t), F_3=F(p_i, Q_i, t), F_4=F(p_i, P_i, t)$ .

Na primer, u prvom slučaju iz (1) imamo

$\sum_{i}p_i\dot{q}_i-\sum_{i}P_i\dot{Q}_i-H+\mathcal{H}=\sum_i\frac{\partial F_1}{\partial q_i}\dot{q}_i +\sum_i\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}\dot{Q}_i +\frac{\partial F_1}{\partial t}$

Da bi jednakost važila članovi uz $\dot{q}_i, \dot{Q}_i$ i odgovarajući slobodni članovi moraju biti jednaki što daje

$p_i=\frac{\partial F_1}{\partial q_i}$
$P_i=-\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}$
$\mathcal{H}=H+\frac{\partial F_1}{\partial t}$

Ako su poznate stare i nove koordinate, kao i hamiltonijani, ovaj sistem diferencijalnih jednačina će odrediti generatrisu do na aditivnu konstantu. U ostala tri slučaja takođe slede slične relacije.

edit: Popravke veze koordinata

Re: Kanonske transformacije 17.11.2007. u 21:11 · pre 230 meseci #5

Samo da napisem kako se dolazi do sledece relacije:

$\delta F=\delta (F+h(t))$

Prikacio sam uz ovu poruku...

Gde je $F$ fja generatrise.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

1.doc25k

Re: Kanonske transformacije 18.11.2007. u 00:23 · pre 230 meseci #6

Ako nemas nista protiv ispravio bih jednu gresku u tvojoj poslednjoj poruci!

Trebalo bi da stoji da imamo veze izmedju starih i novih koordinata
$Q_i=Q_i(q_k, p_k, t), P_i=P_i(q_k, p_k, t)$ , a ne

$Q_i=Q_i(q_i, p_i, t), P_i=P_i(q_i, p_i, t)$

jer mi je $q_k$ skup generalisanih koordinata...

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kanonske transformacije 18.11.2007. u 15:47 · pre 230 meseci #7

Citat:

petarm: Ako nemas nista protiv ispravio bih jednu gresku u tvojoj poslednjoj poruci!

Trebalo bi da stoji da imamo veze izmedju starih i novih koordinata
$Q_i=Q_i(q_k, p_k, t), P_i=P_i(q_k, p_k, t)$ , a ne

$Q_i=Q_i(q_i, p_i, t), P_i=P_i(q_i, p_i, t)$

jer mi je $q_k$ skup generalisanih koordinata...

Popravljeno.

Citat:

petarm: Samo da napisem kako se dolazi do sledece relacije:

$\delta F=\delta (F+h(t))$

Prikacio sam uz ovu poruku...

Gde je $F$ fja generatrise.

Varijacija bilo koje funkcije koja zavisi samo od vremena će uvek biti nula, jer varijacije potiču od menjanja putanja u faznom prostoru. Nisi morao da pišeš sve ono da bi to pokazao, a i btw nešto mi je ono mnogo čudno. Ako sam dobro shvatio ti si donji izraz napisao za pravu faznu trajektoriju sistema i njoj blisku, a potom ih oduzeo.

$\sum_{i}p_i\dot{q}_i-\sum_{i}P_i\dot{Q}_i-H+\mathcal{H}=\frac{dF}{dt}$

Ako je to bio slučaj trebalo je da uzmeš u obzir i da će se i hamiltonijan promeniti.

A što se neodređenosti tiče, mislim da sam jasno pokazao da je za date parove koordinata, impulsa i hamiltonijana generatrisa neodređena do na konstantu. Specijalno, ako imaš samo stare i nove koordinate i impulse, ali ne i hamiltonijane, generatrisa će biti neodređena do na funkciju vremena.

Re: Kanonske transformacije 19.11.2007. u 13:00 · pre 230 meseci #8

Ne vidim zasto bi se Hamiltonova fja menjala u slucaju koji sam napisao?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kanonske transformacije 19.11.2007. u 14:00 · pre 230 meseci #9

Variranje putanje

$q_i\rightarrow q_i+\delta q_i$

$p_i\rightarrow p_i+\delta p_i$

$H(q_i, p_i, t)\rightarrow H(q_i+\delta q_i, p_i+\delta p_i, t)=H(q_i, p_i, t)+\sum_{i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\delta q_i +\sum_{i}\frac{\partial H}{\partial p_i}\delta p_i+...$

Re: Kanonske transformacije 19.11.2007. u 14:12 · pre 230 meseci #10

Ali ja sam oduzeo dva moguca pomeranja pri istoj dinamici!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kanonske transformacije 19.11.2007. u 16:18 · pre 230 meseci #11

Nisu sva moguća pomeranja ista. To ti i Hamiltonov princip kaže jer on izdvaja jedno od mogućih pomeranja pri kome je dejstvo minimalno.

Re: Kanonske transformacije 21.11.2007. u 11:04 · pre 230 meseci #12

Ja sam jednostavno napisao uslov i za druge moguce promene kanonskih promenljivih za isto vreme dt. Ne vidim zasto bi mi se menjale Hamiltonove fje? Mozes li malo detaljnije da obrazlozis svoje misljenje?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kanonske transformacije 21.11.2007. u 13:10 · pre 230 meseci #13

Čini mi se da ne razlikuješ invarijantnost forme od totalne invarijantnosti. Evo izraza

$\sum_{i}p_i\dot{q}_i-\sum_{i}P_i\dot{Q}_i-H+\mathcal{H}=\frac{dF}{dt}$

Imamo dva seta koordinata. Fiksirajmo sada neku tačku faznog prostora $A\in\mathbb{R}^6$ čime smo automatski zadali vrednosti koordinata $q_i, p_i, Q_i, P_i$ jer prvi i drugi par sebe međusobno jednoznačno određuju. Ovime smo fiksirali i brojne vrednosti članova gornjeg izraza zato što su H, $\mathcal{H}$ i F realne funkcije na 6N-dimenzionalnom realnom prostoru. E sada, kada pređemo u neku drugu proizvoljnu tačku i vrednosti ovih funkcija će se promeniti. Međutim, forma ovih funkcija se neće promeniti, tj, formula kojom izračunavaš hamiltonijan je ista u svakoj tački faznog prostora (inače, jelte, reč formula ne bi imala smisla).

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme